Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Einleitung. ~ 4. Die wohlgeordneten Mengen. Die Ordinalzahlen. 15
Es leuchtet ein, daß hierdurch eine ähnliche Abbildung A von 3t
auf einen Teil 91' von 59 gegeben ist, dessen Elemente sind:
91: a,, at,..., an,...
Wir behaupten: es ist
(2) 9=' —,
und beweisen dies durch Induktion.
Da a =, a, kommt a1 in 9' vor. Angenommen, es kommen
a1, a2,..., a. in 91' vor. Wir haben zu zeigen, daß auch a,, 1 in
91' vorkommt.
Es kann n so groß gewählt werden, daß al, a2,..., a~ unter
den Bildern a,, au,,..., a%, von r1, r2,..., r, vorkommen. Kommt
av + i auch unter diesen Bildern vor, so ist die Behauptung bewiesen.
Andernfalls schreiben wir die a?,, an,,..., a in der Reihenfolge
an, in der sie in 9 vorkommen:
a1 vor a... vor voran
und bezeichnen mit ri diejenige rationale Zahl, deren Bild -a ist; dann
ist auch
rl < 1^ <. * * < rn
Für a,+i gilt nun eine und nur eine der Relationen:
a, +i vor a; al vor a +i 1 vor a2;...; a-, i vor a" + i vor a,; a. vor a,, - i.
Sei r* unter allen Rationalzahlen, die der entsprechenden Ungleichung:
r<r-; r,<r<r; 'n...; _<r< r; r.<r
genügen, diejenige, die in (1) kleinsten Index hat. Man erkennt
unmittelbar aus der Definition der Abbildung A, daß a4,+ 1 das Bild
von r* ist. Also kommt ay + i in jedem Falle in 91' vor.
Es' kommen somit alle a, in 91' vor, und (2) ist bewiesen. Demnach ist A eine ähnliche Abbildung von 91 und 91, d. h. 91 hat den
Ordnungstypus g. Damit ist Satz I bewiesen.
~ 4. Die wohlgeordneten Mengen. Die Ordinalzahlen.
Eine geordnete Menge heißt wohlgeordnet'), wenn jeder ihrer
(nicht leeren) Teile ein erstes Element hat2). Aus dieser Definition
folgt unmittelbar:
1) Auch die Theorie der wohlgeordneten Mengen ist eine Schöpfung von
G. Cantor.
2) Dabei ist - wie immer, wenn nicht anders bemerkt - jeder Teil
einer geordneten Menge so geordnet gedacht, wie die Menge selbst.