Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

258 Funktionenfolgen.
oszillierend1) auf 9f, wenn im Punkte a für jedes k die Folge {7fk+ v}
gleichmäßig auf 9 gegen fk konvergiert. Analog ist die Definition des Begriffes "unterhalb sekundär-gleichmäßig oszillierend". Oszilliert die Folge {fv}
im Punkte a sowohl oberhalb als unterhalb sekundär-gleichmäßig auf 9, so
heißt sie sekundär-gleichmäßig oszillierend in a auf 9. Im Gegensatze zur gleichmäßigen Oszillation (Satz I) ist nicht jede konvergente und in
a sekundär-gleichmäßig oszillierende Folge in a auch gleichmäßig konvergent2).
Der Zusammenhang mit dem Begriff der oberhalb stetigen Oszillation
wird hergestellt durch die Sätze:
Satz Va. Ist {fv} in a oberhalb stetig oszillierend auf 92, und
ist in a jedes f, unterhalb stetig3) auf I1, so ist {fv} in a auch oberhalb sekundär-gleichmäßig oszillierend auf f.
In der Tat, wegen der oberhalb stetigen Oszillation gibt es zu jedem
> 0 und jeder Folge {an} aus Q mit lim an = a ein no und ein vo, so daß:
n = oo
(*) f (al) <f(a) + für n > n v o.
Da sich die fk monoton abnehmend der Grenze f nähern, ist für jedes k:
fk(a) - f(a).
Infolgedessen gibt es ein vk (das immer 2 v0 angenommen werden kann), so daß:
fk, (a) > f (a)-3 für Yv k.
Da alle fk, k+ unterhalb stetig sind (Kap. II, ~ 8, Satz IX), gibt es ein nk
(das immer > no angenommen werden kann), so daß auch:
f, k+vk(an) > f(a) - für n nlk,
und da die f, kk+ mit v monoton wachsen, so ist also auch:
fk(a,) > fk, k +(a,) > f(a) -~ für n >nlk, v k,
und somit gilt in jedem Punkte a, (n> nk), in dem
fk (an) < f(a) +
1) Bei W. H. Young: Uniform oscillation of the first kind.
2) Beispiel: Sei X das Intervall [0, 1] des 9x und alle f, 0 für x-0;
weiter: f2==1 in (0,-) und =0 in [l1ij; f2+ =-1 in (0,-) und =0
in [, 1l. Dann ist {f,} überall konvergent in [0, 1]: lim == 0; im Punkte
v _o
O ist {f/} sekundär-gleichmäßig oszillierend, aber nicht gleichmäßig
konvergent.
3) Diese Voraussetzung kann nicht entbehrt werden. Beispiel: Sei % das
Intervall [0, 1] des 9tl, und sei f,(0)= 0 und f,=- 1 in (o, -), f ==0
[, l. Dann sind alle f4 oberhalb stetig, und es ist {f/} oberhalb stetig
oszillierend, aber nicht oberhalb sekundär-gleichmäßig oszillierend
im Punkte 0.