Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

250 Funktionenfolgen.
In der Tat, man erteile jeder Funktion f, in a einen der Ungleichung:
g'(a; f,,?) _fy(a)_ G'(a; f1,?I)
genügenden Wert. Dann wird:
fi(a)=- li,
und fi wird stetig in a; die Konvergenz bleibt gleichmäßig im Punkte a,
und es wird:
(0) lim ft(a) lim f(a) lim,.
V = 0 V= = r v
Da aber nun nach Satz V lim f, und lim f, stetig sind in a
v = Y = -o00
auf 9C, haben sie dort den Wert (0) zum Grenzwert, und Satz VII
ist bewiesen.
Aus der Tatsache, daß {(f,} gleichmäßig konvergiert in a auf Sf,
kann nur geschlossen werden, daß {(f} im Punkte a selbst konvergiert, nicht aber etwa auf Konvergenz in einer Umgebung von a.
Nehmen wir aber ausdrücklich an, daß {f4} auch in einer Umgebung
von a konvergiere, so vereinfachen sich einige unsrer Sätze:
Satz VIII. Ist die Folge {fy} konvergent in einer Umgebung von a in 92, so ist, damit sie eigentlich gleichmäßig
in a auf!2 gegen ihre Grenzfunktion f konvergiere, notwendig und hinreichend, daß es zu jedem e>0 und zu
jeder Folge ({a} aus 2 mnit lim a =a einen Index vo und
n = co
einen Index no gebe, so daß:
(t) -I f(a,)-f(a,) \<e für n,>n, rY.
Die Bedingung ist notwendig. Sei in der Tat {f,} eigentlich
gleichmäßig konvergent in a auf?t. Es gibt dann ein %v und
ein no, so daß:
i f,(a,)- fl (an) Ä <- für n>n0 v>vO, v' v,
2 0 -
durch Grenzübergang v' — co folgt hieraus:
f,(a)- f(^n) < für na no vv> o
wodurch (t) bewiesen ist.
Die Bedingung ist hinreichend. In der Tat, ist sie erfüllt,
so gibt es ein vo und ein n0, so daß:
|f(a) - f(a) 1 <; I f (a.) f(aJ) < für nn _ >v v_ v