Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. IV, ~ 3. Gleichmäßige Konvergenz. 249
Ist nun { v} eine Indizesfolge mit limrv=+- oo, so ist demnach:
- n= O
If,(a) l< <3 e für fast alle n,
d. h. es ist:
lim f", (an)-1.
n-= oo
Also ist { 4} stetig konvergent in a auf 92, und Satz III ist bewiesen.
Eine leichte Verallgemeinerung von Satz III ergibt:
Satz IV. Ist {ff} im Punkte a von 91 gleichmäßig konvergent
auf 9, und sind unendlich viele f, oberhalb (unterhalb) stetig in a
auf 9[, so ist {f,} oberhalb stetig oszillierend in a auf 9X.
In der Tat, es ist lediglich im Beweise von Satz 1II (t) zu ersetzen
durch:
f: (a,) < f, (a) + e,
woraus im Vereine mit '(tt) und (tf) folgt:
fv' (a, < l + 3 e für alle n > no, v' > o.
Dann aber ist für jede Indizesfolge {v, } mit lim v,= + ~-o:
n= a N V= oo
hmn_ f (a,.) < 1lim f4(a),
n, == 00 1 V = 00
d. h. f{/} ist oberhalb stetig oszillierend in a auf 91, wie behauptet.
In Verallgemeinerung von ~ 2, Satz VIII gilt nun:
Satz V. Ist dieFolge {f4} im Punkte a von 91 gleichmäßig konvergent auf 91, und sind unendlich viele fv stetig
in a -auf 9, so ist sowohl lim f als lim f stetig in a auf 91.
Y = 00?^-go
In der Tat, nach Satz III ist {l} stetig konvergent in a auf 92,
so daß die Behauptung aus ~ 2, Satz VIII folgt.
Ganz ebenso sieht man durch Berufung auf Satz IV und ~ 2, Satz XIV:
Satz VI. Ist die Folge {f,} im Punkte a von 9 gleichmäßig
konvergent auf 91, und sind unendlich viele;, oberhalb stetig in
a auf 9S, so ist auch lim f, oberhalb stetig in a auf 91.
In Verallgemeinerung von ~ 2, Satz IX gilt:
Satz VII. Ist die Folge {f,} im Punkte a von 911 gleichmäßig konvergent auf 92, und gibt es in {f,} eine unendliche Teilfolge {f,,}, so daß fi in a auf 91 den Grenzwert 1,i
hat, so hat sowohl lim f, als lim f in a auf 91 den Grenzwert lim 1i.. =
i= -Oo