Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. IV, ~ 3. Gleichmäßige Konvergenz. 247
9 mit lima =a die Beziehung besteht:
n =oo
* }=o, v' =c
oder was dasselbe heißt, wenn es zu jeder Folge {a,} aus a mit
lim a ==a und zu jedem e > 0 einen Index no und einen Index v
gibt, so daß:
(**) Ift'(n)-f (an)[<e für n no, v v, '> v.
Ist insbesondere a Punkt von 2f, so können wir in (**) setzen:
a,=-a für alle n, und ersehen: Eine im Punkte a von f eigentlich gleichmäßig auf f konvergente Folge {f,} ist im Punkte a
eigentlich konvergent.
Nun definieren wir allgemein: Die Folge {f}, heißt gleichmäßig konvergent in a auf 2f, wenn die aus ihr durch die
Schränkungstransformation entstehende Folge {f*} eigentlich gleichmäßig konvergent ist in a auf 2. Auch hier gilt, wenn a zu 9 gehört: eine in a auf 29 gleichmäßig konvergente Folge {f,} ist im
Punkte a konvergent. - In einem isolierten Punkte von 9f ist
gleichmäßige Konvergenz von {f,,} gleichbedeutend mit Konvergenz
von {f, (a)}.
In Analogie zu ~ 2, Satz VII steht der Satz:
Satz I. Damit {f,} im Punkte a von 9~ eigentlich gleichmäßig konvergent sei auf 92, ist notwendig und hinreichend,
daß es zu jedem e> 0 eine Umgebung tU von a in 9 und einen
Index v0 gibt, so daß:
(**) |fa' (a) - fi (a') <
für alle a' von 11 und alle v'~v, vvO.
Die Bedingung ist notwendig. Angenommen in der Tat, sie
sei nicht erfüllt. Dann gibt es ein e> 0, ferner zu jedem n zwei
Indizes v', n, >> n und in 11 (a; ) einen Punkt a, von fO, so daß
if (an) - (a)i e.
Für die Folge {a,} ist dann Bedingung (**) nicht erfüllt, und somit
ist {f,} nicht eigentlich gleichmäßig konvergent in a auf 9t.
Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen in der Tat,
sie sei erfüllt. Ist {a} eine Punktfolge aus S mit lima,= —a, so
~3= 0o
gibt es ein n, so daß a, für n > no in liegt. Wegen (***) gilt
aber dann (**), d. h. es ist {f,} eigentlich gleichmäßig konvergent
in a auf i9. Damit ist Satz I bewiesen.