Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. IV, ~ 2. Stetige Konvergenz und halbstetige Oszillation. 245
lim f, (a) == lim f, (a) = lim f, (a,) lim f, (a).
n=-Co n= n n=o? V=00O
Also ist {f,} stetig konvergent in a auf I.
Satz XIII. Damit {f,} oberhalb stetig (unterhalb stetig) oszilliere in a auf 91, ist notwendig und hinreichend, daß:
(000) lim f (a) = F(a; {f,}, 91) [bzw. limf (a)= (a; {fv}, ~O)].
Die Bedingung ist notwendig: in der Tat, da r(a; {f,}, 92) die obere
Schranke aller lim f, (a,), folgt aus (00):
n=i f11
r(a; {f,}, t) _ lim f (a).
y= O>
Aus ~ 1, Satz VIII aber folgt die umgekehrte Ungleiohung, womit (000) bewiesen ist.
Die Bedingung ist hin r eic h e n d. In der Tat, ist sie erfüllt, so folgt aus
der Definition von r(a; {fv}, 2) als der oberen Schranke aller lim' f, (a,) sofort (00). Damit ist Satz XIII bewiesen. = Co
Nun beweisen wir in Verallgemeinerung von Satz VIII:
Satz XIV. Ist die Folge {f,} in a oberhalb stetig') oszillierend
au f S(, so ist ihre obere Grenzfunktion.
f- lim f,,
oberhalb stetig in a auf g2.
Vermöge der Schränkungstransformation kann {f,} und somit auch f als
b eschränkt vorausgesetzt werden. Angenommen, es wäre f nicht oberhalb
stetig in a auf 92. Dann gäbe es in 91 eine Folge {a,}, so daß:
(t) limn a, a; = ac lim f(a,) > f(a).
ll- 00 $1= IM
Zu jedem n gäbe es ein r">n, so daß:
I f, (a,^) — f (a^) < -
Dann aber wäre auch:
_(t.f) Hlim f~, (a,) = lim f (a) > f(a),?n=oo 00 n==<
entgegen der Annahme, {f,} sei oberhalb stetig oszillierend in a auf 91. Damit
ist Satz XIV bewiesen.
Wörtlich derselbe Beweis lehrt:
Satz XV. Ist im Punkte a von S9211:
(ttt) lim fv (a) > r' (; {f,}, 2),
so ist die obere Grenzfunktion von {f,} oberhalb stetig in a auf 21).
1) Bei unterhalb stetig oszillierenden Folgen {fv} wird die untere
Grenzfunktion unterhalb stetig.
2) Ist:{
2) Istd: de e lim fu (a) < 7' (a; {,}, ),
so wird die untere Grenzfunktion u n t e r h a lb stetig.