Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

244 Funktionenfolgen.
Aus Satz X folgt nun sofort:.
Satz XI. Ist im Punkte a von %I die Grenzfunktion der
monotonen') Folge {~,} stetig auf 2f, und sind unendlich
viele f, stetig') in a auf 2f, so ist {~,} stetig konvergent in
a auf 9f.
Wir wollen nun noch eine Verallgemeinerung des Begriffes der stetigen
Konvergenz vornehmen. War {/f} stetig konvergent auf [im Punkte a von
9f, so galt (Satz IV) für alle Punktfolgen {a,} aus 2 und alle Indizesfolgen
{V~} mit:
lim a,,= - a; lim v:n = 4- o
die Beziehung:!im f (a,))=lim f, (a).
n == oo 0 Y == oo
Wir definieren nun: Die Folge {/f} heißt oberhalb stetig (unterhalb
stetig) oszillierend in a auf 91, wenn für alle (0) erfüllenden {a",}, {v,}:
(00) lim fv (a,) < lim f, (a) [bzw. lim /f (a,,) linm f (a)].
n=oo C y^oo
Ist die Folge {f}, sowohl oberhalb als unterhalb stetig oszillierend in
a auf 9I, so heißt sie stetig oszillierend in a auf 9I.
Satz XII2). Ist die Folge {f,} konvergent in a und stetig oszillierend in a auf 92, so ist sie stetilg konvergent in a auf ~2.
In der Tat, dann ist
lim f, (a) = lim f (a) lim t, (a),
VJ =M 3 -- 00
und aus (00) folgt:
1) Folgende Beispiele (im 91,) zeigen, daß die einschränkenden Bedingungen
nicht entbehrt werden können. 1. Beispiel: Sei f4=0 in (- oo, 0] und in
+[, oo), f (-) ---1 und f,, linear in [0, j und in [-, ] (Figur 6). Dann
ist lim f,- 0, alle f sind stetig, aber die Konvergenz ist nicht stetig im
v= Co
o 1 2 ov1
jT V
Fig. 6. Fig. 7.
Punkte 0. 2. Beispiel: Sei — =0 in (-oo, 0] und in [,+oo); f=l in
(0, ) (Figur 7). Dann ist {f,} monoton und limra f = 0. Aber die Konvergenz ist nicht stetig im Punkte 0.
2) Die Sätze XI1 bis XVI sind allgemeine Grenzsätze.