Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. IV, ~ 2. Stetige Konvergenz und halbstetige Oszillation. 243
Dann ist jeder Häufungswert von {f(a,)} auch ein Häufungswert
von {(f (a)}, so daß {fv.(a,)} ebenso wie {f(a,)} nicht konvergiert.
Dies steht in Widerspruch zur vorausgesetzten stetigen Konvergenz
von { f}, und Satz VIII ist bewiesen.
Derselbe Beweis zeigt:
Satz IX. Ist die Folge {f4} im Punkte a von 91 stetig konvergent auf t, so hat ihre obere und ihre untere Grenzfunktion denselben Grenzwert in a auf 59.
Unter einschränkenden Voraussetzungen kann Satz VIII (und
analog Satz IX) umgekehrt werden. Wir zeigen zunächst:
Satz X.1) Ist im Punkte a von t die Grenzfunktion der
monoton abnehmenden2) Folge {fv}:
(*) f-=lim f"; fl _ fv
V= 00
unterhalb2) stetig auf st, und sind unendlich viele f, oberhalb2) stetig in a auf 2f, so ist {(f} stetig konvergent in a
auf i1.
Beim Beweise können wir wieder {f}), und somit auch f als
beschränkt annehmen. Es genügt zu zeigen: Für alle Folgen {a,}
aus 5 und alle Indizesfolgen {v}, mit:
limz a-=a; lim v, -- +o
n = =00=o
ist:
(**) lim f". (a)- f(a).
n = r0
Wegen (*) gibt es zu jedem e> 0 ein v, so daß:
fi,(a)<f(aa)+e,
und so daß fY oberhalb stetig in a; dann ist auch:
fi (aj) < f(a) +- e für fast alle n.
Wegen der Monotonie von {f}, ist daher auch:
(***) f" (a,) < f(a) - - e für fast alle n.
Weil f unterhalb stetig in a, ist: -
f(a.)>f(a) - für fast alle n.
Wegen der Monotonie von {fv} ist daher auch:
(,**) f.n (f ) ff(a) - e für fast alle n.
Aus (**) und (***) aber folgt (**), und Satz X ist bewiesen.
1) Satz X und XI und allgemeine Grenzsätze.
2) Für monoton wachsende Folgen {fy} gilt die Behauptung, wenn
f oberhalb, und unendlich viele f, unterhalb stetig in a sind.
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