Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. IV, ~ 2. Stetige Konvergenz und halbstetige Oszillation. 241
und nach Satz IV ist die stetige Konvergenz von {f,,} in a auf 9Q
bewiesen.
Ist {ft} stetig konvergent in a auf 91, und ist der durch (t)
von Satz IV gegebene Wert endlich, so wollen wir sagen, {f,} sei
eigentlich stetig konvergent in a auf 9.
Satz VI.1) Damit {f,} im Punkte a von 910 eigentlich stetig
konvergent sei auf 91, ist notwendig und hinreichend, daß
für jede Punktfolge {an} aus 9 mit lima,-=a die Beziehung
bestehe: n=~
(*) lim (f,, (an,,)- f, (a))- O.
=00, tn'=
V=00, '==00
Die Bedingung ist notwendig. Angenomrhen in der Tat, sie
sei nicht erfüllt. Dann gibt es eine gegen a konvergierende Punktfolge {a}, aus 92, ein e>0, und wenn no, vr beliebig gegeben sind,
Indizes n, n', v, v, so daß:,n > - no, ' >' o, n - o, v; | f (a.~) - (an) I
Es gibt dann also insbesondere Indizes ni, nv, i,, so daß:
ni i, n' i, Vi i, V> i; | aut (Cnt ) f, (ans) | _.
Es kann also die Folge
f1,, (~.)J, f,, (~ ~), fr,,(~.), f,';(a-;)..., f,i (ani)) (3 ),, *.
nicht eigentlich konvergent sein, und mithin kann nach Satz IV {f,}
nicht eigentlich stetig konvergent sein in a auf 9.
Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen in der Tat,
sie sei erfüllt. Ist dann e> 0 beliebig gegeben, so gibt es zu jeder
gegen a konvergierenden Folge {a,} aus 9 Indizes no und v0,
so daß:
Ifv(an,)- fv (,) < e für n>no, n'> n, n V>o, v' > o;
ist also limv =+-oo, so gibt es ein i, so daß:
n=co
i fv(a,) -fn (a,) < e für n >, i '>,
d.h. die Folge {f,"(a,)} ist eigentlich konvergent. Daraus folgt
sofort die eigentliche stetige Konvergenz von {f,} in a auf 9S, und
Satz VI.ist bewiesen.
Satz VII. Damit {ff} im Punkte a von 9~o eigentlich
stetig konvergent sei auf 9t, ist notwendig und hinreichend,
1) Satz VI ist ein allgemeiner Grenzsatz.
Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 16