Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. IV, ~ 2. Stetige Konvergenz und halbstetige Oszillation. 239
lim al' —a; lim V + -c00; lim fa (a = ~ I,
n = Oo 00= o oO
so würden auch die Folgen:
a( '1,, a an, a ", ', 'P2 - ' V 1' r 2' ', n...
(0) erfüllen, ohne daß die Folge:, (a ), f, ( ), f ), (.2),..., f^ ( ), t,: (a),...
einen Grenzwert besäße, was der Stetigkeit der Konvergenz widerspricht.
Da nun aber (2) für alle (0) erfüllenden {a }, {v?} gilt, so ist
zufolge der Definition von F und y:
r(a; {g}, )=l-; y(a; {;,}, ) =,
und (1) ist als notwendig erwiesen.
Die Bedingung ist hinreich ). Den). nach Definition von
F und y folgt aus (0):
(3) y (a; {f.}, 9) (a) im ),,(a < F(a; { f}, ),
n==< a=oo
und mithin, wenn (1) erfüllt ist:
lim/ ',, (at) =limn f;. (aj,
d. h. es existiert der Grenzwert lim f., (a,), und es ist somit {t;}
stetig konvergent in a auf 9X. "=C
Satz III.2) Damit {f,} stetig konvergent sei auf 9 im
Punkte a von 92, ist notwendig und hinreichend, daß {f,(a)}
konvergent sei, und daß
(4) r(a; {f}, W)= (a; {fv}, ) =lim;, (a).
5 == 00
Die Bedingung ist notwendig. In der Tat, ist {f,, stetig
konvergent in a auf I, so gilt nach Satz II jedenfalls (1). Nach
Definition von F und y aber folgt aus (0) Ungleichung (3). Aus
(1) und (3) aber folgt (4), indem man a,-a setzt für alle n.
Die Bedingung ist hinreichend. Dies ist schon in Satz II
enthalten.
Ebenso leicht erkennt man:
Satz IV. Damit {f,} im Punkte a von l~ stetig konvergent sei auf 2, ist notwendig und hinreichend, daß für
x) Dies ist ein allgemeiner Grenzsatz.
2) Definiert man die stetige Konvergenz dnrch Gleichung (1) von Satz II,
so sind Satz III und IV allgemeine Grenzsätze.