Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Einleitung. ~ 3. Die geordneten Meenge. Die Ordnungstypen. 13
Ist tf' vor a, und gibt es in 2f kein Element zwischen 5'
und a, so sagen wir: a folgt unmittelbar auf 5['. Ist a vor S',
und gibt es kein Element zwischen a und 21', so sagen wir: a geht
A' unmittelbar voran.
Sind 21' und 1" zwei Teile von 21, und gilt für alle Elemente
a' von 1' und a" von Wl":
a' vor a",
so sagen wir auch:
1' vor 21" (1" folgt auf 2').
Damit sind auch Aussagen, wie: $2'1" zwischen 1' und 21" ohne weiteres verständlich.
Wir definieren die S umme a +- f zweier Ordnungstypen 1). Seien
21 und $ zwei fremde Mengen der Ordnungstypen a und WB. Wir
ordnen die Summe 1 - 53 durch die Vorschriften:
a vor b, wenn a in 51, b in 53;
a' vor a", wenn a' und a" in 21, und dort a' vor a" gilt;
b' vor b", wenn b' und b" in S3, und dort b' vor b" gilt.
Den Ordnungstypus der so geordneten Menge 21 + 3 bezeichnen wir
als die Summe ac + von c und fl.
Es ist dann offenbar:
(a + ) + r + ( +),
hingegen ist im allgemeinen:
a + + f- a,
wie folgendes Beispiel zeigt: es gebe in der Menge $1 vom Ordnungstypus a ein erstes Element, in der Menge 53 vom Ordnungstypus ß
nicht. Wird die Menge $2 -+ 53 nach dem Ordnungstypus a - ß geordnet, so hat sie gleichfalls ein erstes Element, wird sie nach dem
Typus ß + a geordnet, hat sie kein erstes Element; diese beiden
Ordnungen von 1 -- 3 sind also nicht ähnlich, ihre Ordnungsstypen
daher nicht gleich.
Der Ordnungstypus der Menge der natürlichen Zahlen in ihrer
natürlichen Anordnung:
n vor n' wenn n<n',
wird mit co bezeichnet. Der Ordnungstypus dieser selben Menge
in der umgekehrten Anordnung:._______ n vor n' wenn >n
~) Die Definition des Produktes und der Potenz von Ordnungstypen
werden wir nicht benötigen.