Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

236 Funktionenfolgen.
führen1). Wir definieren: Sei a ein Punkt von 9.t und {a,} eine Punktfolge
aus W mit:
lim a =a; a~ = a fir alle n,
n= 0
und sei {v,} eine Indizesfolge mit:
lim V,n = + -.
= C00
Wir!denken uns gebildet:
lim f, (a,,)= v,
n=o00
und bezeichnen mit I' (a; {/f.}, l) die obere Schranke aller dieser Größen v.
Dadurch ist F' (a; 9f}), 1) als Funktion von a definiertauf 9'1. Sie heißt die reduzierte Maximalfunktion von {f} auf 1. Analog definiert man die
reduzierte Minimalfunktion y' (a;{f,},91). Aus der Definition folgen
sofort die Sätze:
SatzX. Geht durch die Schränkungstransformation {f,} über in
{t*.}, so auch r'(a;{f},) ) in " (a;{f*}, ) und '(a;{f }, S) in
y(a; {f} ).
Satz XI. In jedem Punkte von 91 ist:
(0) 7 (a; {fl,} 1) < / (a; {tf}, 91) < 1' (a; {f}, ) (a; {f}, 9);
in jedem Punkte von lC1 —O W1 ist:
(00) y'(a; {f}, )=y (a;{),; f (a; {f,}, ) (a;{f,},).
Satz XII. Die charakteristischen Eigenschaften von Satz VI
gelten auch für '(a; {f,}, 9), y (a; {f2,}, 9) in jedem Punkte a von 91,
wenn die Umgebungen 11 von a in 91 durch die reduzierten U:mgebungen 11' von a in 9 ersetzt werden.
In der Tat, ist a Punkt von 9l1- S1, so gilt dies wegen (00) von
Satz XI. Ist a Punkt von 9121, so bezeichne man mit 91' die Menge, die aus
91 durch Weglassen von a entsteht, und hat nach (00) von Satz XI:
/ (a; {i}, Y) =y (a; ) f,}, D'); ' (a; {f,}, ') = r(a; {f,}, 'V).
Indem man nun auf 91' Satz VI anwendet, erhält man Satz XII.
Ebenso erhält man aus Satz VII:
Satz XIII. Ist a Punkt aus 921, so gibt es in 91 zwei Punktfolgen {an} {a'}, und zwei Indizesfolgen {v}, {Vn}, so daß:
liman' - a; li + co li f," (a') - F (a; {f}, ();
f=to n= as,, =oo
~_= a< niico yt=oo 8
lim a' a; a= +a; lim'-+ -c; lim fn, (a'") (a; {f } 9).
Auf dieselbe Weise wird aus (1) von Satz VIII3):
~) W. H. Young, Lond. Proc. (2) 6 (1908), 29, 298. Dort wird
"' (a; {f}, 9) als ~peak function", y' (a;{f,}, 9) als ~chasm function" bezeichnet.
2) Die zu (2) von Satz VIII analoge Ungleichung:
' (a; {f,}, 9) 5 lihm f. (a) < lim fV (a) ~ 1 (a; {f,,}, 91)
Y= 00 Y= 0o