Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. IV, ~ 1. Maximal- und Minimalfunktionen. 233
standen, für die a zu 91 gehört. Wir können nun eine auf 9l gegebene Folge {f"} zur Darstellung bringen als eine Funktion f. auf
der Punktmenge:
von Si, indem wir festsetzen: Ist a Punkt von 92, so habe f im
Punkte la, -^ von i? den Wert t, (a). Aus (***) folgt dann unmittelbar:
Satz V. In jedem Punkte a von 9o~ stimmen Maximalund Minimalfunktion von {/,} auf 9 überein mit oberer
und unterer Schrankenfunktion von f auf 91:?(a; {X}, 9)-G (a; f,? ); y (a; {fx}, ~,)= g (a; f: 2)
Daraus fließen nun leicht die wesentlichen Eigenschaften von
Maximal- und Minimalfunktion:
Satz VI. Die Zahlen y(a; {fv},) und F(a; {f;.}, ) sind
charakterisiert durch die beiden Eigenschaften:
1. Ist qr(a; {t}), ) (oder p <y(a; {f}, ) ),
so gibt es eine Umgebung i1 von a in 9t, und einen Index
YO, so daß:
(0) f (a')< q (bzw.;, (a')> p) für alle a' von 1 und alle, ~ vi.
2. Ist q<r(a;{f;}),) (oder p> y(a; {f}, )),
so gibt es zu jedem Index v0 in jeder Umgebung 1I von a
in 9 mindestens einen Punkt a' und einen Index v v,
so daß:
(00) f (a') q (bzw. f', (a') p).
In der Tat, ist
q > I(a; {})},
so gibt es wegen Satz V nach Kap. II, ~ 2, Satz VII eine Umgebung
11(a) von a in X9, so daß:
(t) G(f, U (a)) <.
Es gibt nun ein >0, so daß für die Umgebung U (a; g) von a in
9 gilt:
U1 (a; 9) < 1 (a).
Ist nun a' Punkt von W9 und:
r (a', a'>^
>O