Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

232 Funktionenfolgen.
Die obere Schranke aller dieser v bezeichnen wir mit T'(a;{J,}, v),
und nennen die so auf 9t0 definierte Funktion die Maximalfunktion von {f,} auf 911). Ganz analog ist die Definition der Minimalfunktion y (a; {f,},) als untere Schranke aller Werte:
lirm f~ (a )= w (lirm a = a; lim v, = - - c ).
n oo' -n -=o n= Oo
Aus dieser Definition ergibt sich unmittelbar:
Satz III. Ist Q8-<9/ und a Punkt von 23~, so ist:
F(a; {}', $3) ~F r(a; {f )}, 9);, (a; {,}, ) } y (a; {tf;,, 9().
Aus Kap. II, ~ 1, Satz I und II folgt weiter sofort:
Satz IV. Geht durch die Schränkungstransformation
{fü} über in {f~}, so auch rin (a;{},) in (a;{},) und
y(a;{f,},9f) in y(a;{f~},4).
Maximal- und Minimalfunktion gewinnen sehr an Anschaulichkeit durch folgende Betrachtungsweise2): Wir bilden aus dem zugrunde gelegten metrischen Raume S9 einen neuen Raum 91, dessen
Punkte die Paare [a,z]3) aus einem beliebigen Punkte a von St und
einer beliebigen (endlichen) reellen Zahl z seien, wobei der Punkt
a von 91 als identisch mit dem Punkte [a,0] von 9 betrachtet
werde4), in Zeichen:
(*) a= [a,0].
Wir machen den Raum 91 zu einem metrischen durch die
Festsetzung: der Abstand der zwei Punkte [a,z] und [a',z'] von 9:
sei gegeben durch:
(* *) r ([a, z], [a', z']) = Vr (a,a')2 (z - z')
Aus (*) und (**) folgt dann:
(***) lim[a,,,z,j]a, wenn lima =a; lim ii= 0.
Ist nun 91 irgendeine Punktmenge aus N9, so werde (bei gegebenem z) unter 9(z) die Menge aller Punkte [a,z] von 1 ver1) Vgl. zu dieser Begriffsbildung C. A. Dell'Agnola, Atti Ven. 69
(1909/10), 151.
2) Sie dürfte (für Folgen von Funktionen einer reellen Veränderlichen)
zuerst von P. Du Bois-Reymond angewendet worden sein: J. f. Math. 100
(1887), 331.
8) Eine Verwechslung dieses Symbols mit dem der abgeschlossenen
Intervalle ist nicht zu befürchten.
4) In der Sprache der analytischen Geometrie könnte man sagen: 91 ist
die Ebene z ==0 von ~1.