Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. IV, ~ 1. Maxiinal- und Minimalfunktionen. 231
als nach unten beschränkt ist auf 9/. Eine Funktionenfolge kann
für jedes a von 91 beschränkt sein, ohne auf 91 beschränkt zu seinl).
Diejenige Funktion auf X9, die in jedem Punkte a von 21 gleich
ist der oberen (unteren) Schranke der Folge {f' (a)}, nennen wir die
obere (untere) Schrankenfunktion von {f,}. Die durch
f(a) = lim f,. (a); '(a) = lim f;, (a)
definierten Funktionen nennen wir obere und untere G renzfu nktion von {f,).
Jeder Punkt von 91, in dem f,,} konvergiert, d, h. in dem
im f, (a)- lim f, (a) lim f (a) li, (a),
I0= (o;,;,~ ' ~-r=- ~
heißt ein Konvergenzpunkt, jeder andere ein Oszillationspunkt
von {f4}. Ist eine Folge in, jedem Punkte von 1 konvergent, so
heißt sie konvergent auf 21. Die durch
f'(a) = lim f;, (a)
= 00
definierte Funktion heißt dann die Grenzfunktion von (fj).
Wenden wir auf sämtliche Funktionen einer Folge die Schränkungstransformation an, so geht sie in eine beschränkte Folge über
Aus Kap. II, ~ 1, Satz, II, III entnimmt man sofort:
Satz I. Geht durch die Schränkungstransformation
Üf,}] über in {fJ}, so gehen dabei obere und untere Schrankenfunktion und Grenzfunktion von {f,} über in obere und
untere Schrankenfunktion bzw. Grenzfunktion von {f}.
Satz II. Geht durch die Schränkungstransformation {bt,}
über in {/'}, so haben {f~} und {f*} dieselben Konvergenzund Oszillationspunkte.
Sei nun a ein Punkt von 1o0. Zu jeder gegen a konvergierenden Folge {a, aus 21:
lira a, = a,
und jeder ins Unendliche wachsenden Indizesfolge {%}:
lim Vr = - 00
denken wir uns nun gebildet:
lim f, (a,) - v.
B) Beispiel: Sämtliche f;, von {fA,} seien dieselbe, auf 91 endliche, aber
nicht beschränkte Funktion.