Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. III, ~ 7. Verallgemeinerungen. 223
und definieren') durch Induktion die k-te Schwankungsfunktion von f auf 9t:
wk (a) == re (a; (ok_-, 91o);
sie ist hierdurch definiert in allen Punkten von 29~.
Wie wir in ~ 2 sahen (Satz XII), ist üo, im allgemeinen, aber nicht ausnahmslos, oberhalb stetig auf %9. Wir ergänzen nun dies Resultat:
Satz V,. Ist f punktweise unstetig auf 91, so ist co oberhalb
stetig auf 91.
In der Tat, da f punktweise unstetig auf 91, liegen die Punkte, in denen:
Co,-(a) = 0,
dicht in 91, und mithin in 91o. Es ist also in jedem Punkte a von 910:
g (a; o, 9o)= 0.
Also ist:
roe (a) == co (a; a>,, 9~) = G (a; %, 91o).
Nach Kap. II, ~ 11, Satz II ist also wo (a) oberhalb stetig auf 910, und Satz V
ist bewiesen.
Die Voraussetzung, f sei punktweise unstetig, kann in Satz V nicht
entbehrt werden, wie folgendes Beispiel einer in [0, 1] definierten (und endlichen) Funktion einer reellen Veränderlichen zeigt:
[1 für irrationales a,
a
f(a) ji +n für die rationalen a von (., (. '
[ für a 0.
Dann ist:
n in c,( n'
%(a)= n m_
— o00 für a=0,
und mithin:
0 in (n —l ' -)und für a=-0, a=1,
für)a =(n 13,
Also ist o, (a) nicht obenrhalb stetig auf [0, 1] im Punkte 0
Allgemein gilt:
Satz VI. Für jede beliebige Funktion f auf 91 ist c(0 oberhalb
stetig auf 91~.
In der Tat, ist a Punkt von 910, so ist nach ~ 2, Satz XII fox in a
oberhalb stetig auf 91, es sei denn, daß:
(1) G (a; f,9)==g(a; f,91)=-oo oder = ---o,
und mithin:
(2), (a)- 0.
Wir bezeichnen mit 58 die Menge aller Punkte von 91, in denen (1) gilt.
Überall auf 93 gilt also auch (2).
1) W. Sierpiüski, Bull. Crae. 1910, 633. Verallgemeinerungen bei
H. Blumberg, Proc. Nat. Acad. Am. 2 (1916), 646.
~) Wegen einer späteren Anwendung bemerken wir, daß:
(o,(0)==l, also 4+(0w(0).