Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

222 Die unstetigen Funktionen.
Angenommen in der Tat, f sei nicht punktweise unstetig auf 91. Nach
~ 4, Satz V gibt es dann ein q > 0 und eine (nicht leere) in 91 offene Menge ($,
in deren sämtlichen Punkten:
C q.
Sei p > q die untere Schranke g (wc, (5). Vermöge der Schränkungstransformation
können wir p als endlich annehmen. Sei a ein Punkt von q3, in dem:
(*) (a) <4p
Wir behaupten: es gibt eine Umgebung t (a) von a in 91, so daß für alle a'
von 11(a):
(**) ig (a') < 9g (a) + -p; (a') G (a)- -.
3
In der Tat, beweisen wir etwa die erste Hälfte von (**). Wäre sie nicht
richtig, so gäbe es in jeder Umgebung 1 (a) von a in 9 einen Punkt a', in dem
gl (a') > gl (a) 4 —
und mithin:
G, (a') = g (a') + o (a') 2 g (a') +-p > g, (a) +.
Weil G1 oberhalb stetig, wäre also auch:
4p
G1 (a) 2 gl (a) --
im Widerspruche mit (*).
Aus (**) zusammen mit w (a) ~p folgt nun für alle a' von 1 (a):
g4_ (a') ~< gl (a) + < G< (a) - Gx (a'),
gja?3g,(a)+si6,(~ 3
mithin, durch Bildung der oberen bzw. unteren Schrankenfunktionen, auch:
g. (a') < g, (a)+ -- < G (a) -P - G (a'),
und, indem man von ge (a') nochmals die untere Schrankenfunktion bildet:
93 (a) < G2 (a).
Es gilt also die erste Gleichung (1) nicht. Damit ist Satz III bewiesen.
Weiter folgt nun auch leicht:
Satz IV. Damit f punktweise unstetig sei auf 91, und es eine
zu f gehörige möglichst stetige Funktion gebe, die auf 910 stetig
ist, ist notwendig und, wenn 91 relativ-vollständig, auch hinreichend, daß auf ganz 10:
(***i) a.G, (a) = g. (a) = G3 (a) = g3 (a).
In der Tat, man hat nur zu beachten, daß (***) wegen (2) und (13)
gleichbedeutend ist mit:
g (a; f, 23) G (a; f, ),
und daß diese Funktion sowohl unterhalb wie oberhalb stetig, und somit
stetig ist auf 91~.
Sei f definiert auf der Punktmenge 91; die zugehörige Schwankungsfunktion co (a; f, 9) ist dann definiert auf 91~. Wir setzen:
c (a)= c) (a; f, t)