Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. III, ~ 7. Verallgemeinerungen. 219
Sie ist stetig im 9N für irrationales, unstetig (und zwar von erster Art) für
rationales a.
Die eben besprochene Abbildung A kann benutzt werden, um aus einer
im S, definierten Funktion f eine auf der nirgends dichten perfekten Punkt-.
menge?ß definierte Funktion f* herzuleiten. In der Tat, vermöge A entspricht,
wie wir sahen, jedem irrationalen a ein Punkt zweiter Art, jedem rationalen a
ein punktfreies Intervall 3 von E. Wir definieren nun f* auf a durch die
Vorschrift: Ist b der vermöge A dem irrationalen a zugeordnete Punkt zweiter
Art von ~, so setzen wir f* (b)= f (a). Ist S das vermöge A dem rationalen a
zugeordnete punktfreie Intervall von $, b ein (als Punkt erster Art zu T gehöriger) Begrenzungspunkt von S, so setzen wir wieder f* (b)= f(a). Dadurch
ist f* auf h definiert. Ist f stetig (unstetig von erster Art) in a im 91, so
ist f* im entsprechenden Punkte (bzw. den beiden entsprechenden Punkten) b
stetig (unstetig von erster Art) auf $. Dieses Verfahren führt also jede im 8,
punktweise unstetige Funktion in eine auf: punktweise unstetige Funktion über.
Wir können dies Verfahren auch benutzen, um punktweise unstetige
Funktionen einer reellen Veränderlichen herzustellen, die nur abzählbar
viele verschiedene Werte annehmen, während. ihre Schwankungsfunktion
alle Werte > 0 annimmt. Wir bilden zu dem Zwecke zunächst folgende
(im 9nj_ total-unstetige) Funktion:
0 für irrationales a und a 0,
/f(a)4! für rationales a.
Dann ist:,(a;o)-j ~für a+0.
+ -oo für a — 0.
Wir führen die Funktion f in der vorhin besprochenen Weise über in eine
auf der nirgends dichten perfekten Menge S3 definierte Funktion f* und erweitern deren Definition auf den ganzen Sr, indem wir setzen:
f*=O auf -, -.
Die so definierte Funktion f* leistet offenbar alles Verlangte.
Wir können noch ein wenig weitergehen') und eine punktweise unstetige
Funktion herstellen, die nur abzählbar viele verschiedene Werte annimmt,
während ihre Schwankungsfunktion jeden Wert > 0 in einer Punktmenge
der Mächtigkeit c annimmt: Sei g eine im 9i1 stetige Funktion, die jeden
Wert 2 0 in einer Punktmenge der Mächtigkeit c annimmt (Kap. II, ~ 7, S. 150).
Wir setzen:
f a.0 für irrationales a,
f a) g(a) für rationales a.
Ganz wie vorhin leiten wir aus f eine neue Funktion f* her, die dann alles
Verlangte leistet.
~ 7. Verallgemeinerungen.
Sei die Funktion f definiert auf 9/. Wir bezeichnen ihre (auf 9/~ definierte)
obere Schrankenfunktion mit:
)Vg.__ ASh eG, (a)- G (a; f, 9).
3) Vgl. A. Schoenflies, Gött. Nachr. 1899, 192.