Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. III, ~ 6. Beispiele punktweise unstetiger Funktionen. 217
alle a' von 9-.(a,a -- h):
G+(a; f, 9) 4- f(a') G+(a; < f, 91) +.
In jedem Punkte a' von 9.(a, a — h) ist aber dann:
o (a'; f, 9J)_ 2e.
Wählt man insbesondere 2e < q, so gilt also (**) in keinem
Punkte a' von 9. (a, a - h), wie behauptet. - Ganz ebenso beweist
man, daß es, wenn (*) gilt, ein Intervall (a - h, a) gibt, das keinen
Punkt von 91 enthält, in dem (**) gelten würde.
Wir schließen daraus: Die Menge aller Punkte a von 91, in
denen (*) gilt, ist eine isolierte Menge (Kap. II, ~ 4, S. 75); nach
Kap. II, ~ 7, Satz Via ist sie also abzählbar.
Sei nun 9/, die Menge aller Punkte von 91, in denen:
w(a; f, 1)_>.
Dann ist 94, 2 $- 4- 9. 4-.. die Menge aller Unstetigkeitspunkte von f auf 91. Da aber nach dem eben Bewiesenen jede
Menge n1" abzählbar ist, so auch 1, 4... 9 1..., und Satz IV
ist bewiesen 1).
Satz V2). Sei 91 eine im endlichen Intervalle [b,c] des
9R, liegende abgeschlossene Punktmenge. Damit die beschränkte Funktion f unstetig von erster Art sei auf 91,
ist notwendig und hinreichend, daß es zu jedem e> 0 endlich viele Punkte in [b,c] gebe:
b = ao < a < a <... < aI < a= c,
so daß [wenn 9.(aii,ai) nicht leer]:
c (f,9 X(a~i -, ai, <..., ).
Die Bedingung ist not wendig. In der Tat, ist f unstetig von
erster Art auf 91, so gilt in jedem Punkte von 9X1 bzw. von 9/1 die
entsprechende der beiden Uigleichungen:
gO4(a; f, 9)==0; o' (a; f, X)=0,
so daß die Behauptung unmittelbar aus ~ 2, Satz XXII folgt.
Die Bedingung ist hinreichend; denn sei f in a unstetig von
zweiter Art auf 91. Dann gilt mindestens eine der beiden Ungleichungen:
____ (a; f, 1)>0; o'{(a; f, 0; (a; f)>0,
1) Satz IV folgt auch unmittelbar aus ~ 1, Satz XVI und Kap. II, ~ 13,
Satz XII.
2) H. Lebesgue, Ann. de Toul. (3) 1 (1909), 60.