Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. III, ~ 5. Erweiterung einer punktweise unstetigen Funktion. 213
Satz VIII. Ist f punktweise unstetig auf 9, ist f* eine zu f
gehörige möglichst stetige Funktion, und isth eine Funktion auf 9~,
die in allen Stetigkeitspunkten von f auf 9 mit f übereinstimmt,
so ist in jedem Punkte von 9t0:
(x) G (a; h, %~) G-(a; f*, 9o); g (a; h, o) g (a;f*, o),
und mithin auch:
co(a;h, W~) o> (a; f*, Wo).
In der Tat, da unter den Werten, die h auf 9~ annimmt, auch die vorkommen, die f auf der Menge S3 seiner Stetigkeitspunkte annimmt, so ist:
G (a; h, ) G(a; f, S),
woraus durch Berufung auf (000) die erste Ungleichung (x) folgt, und analog beweist man die zweite.
Satz IX. Ist f auf % punktweise unstetig, und ist f endlich,
oder gibt es unter den zu f gehörigen möglichst stetigen Funktionen eine endliche f*, so ist f-f* eine auf 91 punktweise unstetige Funktion, die in jedem ihrer Stetigkeitspunkte auf 91 den
Wert 0 hat.
Sei in der Tat 3 die Menge alleri Stetigkeitspunkte von f auf 91. Nach
Satz VI ist in jedem Punkte von B9 auch f* und mithin auch f- f* stetig
auf 9, also ist f - f* punktweise unstetig auf 1.
Sei nun a ein Stetigkeitspunkt von f- f* auf 1. Da 3 dicht in A(, ist
a Häufungspunkt von S3; und da in jedem Punkte b von 3:
f (b)- f*(b)- O,
muß wegen der Stetigkeit in a auch:
f (a) - f* (a)= 0
sein. Damit ist Satz IX bewiesen.
Daraus folgt unmittelbar:
Satz X. Unter den Voraussetzungen von Satz IX ist jede zu
f-f* gehörige möglichst stetige Funktion -0 in allen Punkten
von 910.
Beachten wir, daß:
f*(a)- f(a) - (f*(a) - (a)),
so können wir die Sätze IX und X kurz so zusammenfassen: Jede auf K
punktweise unstetige und endliche 1) Funktion kann durch Addition einer punktweise unstetigen Funktion, deren zugehörige möglichst stetige Funktionen =0
sind, in eine ihr zugehörige möglichst stetige Funktion verwandelt werden;
und zwar genügt die zu addierende punktweise unstetige Funktion f* - f auf 9
der Ungleichung:
(xx) f (a) - f*(a) l <co (a; f, ).
In der Tat, wie aus ihrer Definitionsungleichung (0) (S. 211) hervorgeht, gel) Diese Voraussetzung kann nicht entbehrt werden. Beispiel: sei % das
Intervall (0,1) des N, und:
f(a)= n für a — (m, n teilerfremde natürliche Zahlen)
n
f(a) -- +- o für irrationales a.
Dann ist f* (a) = -+ -o überall auf 91, und mithin f*(a) - f(a) = — oo in allen
rationalen Punkten von 9(.