Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. III, ~ 5. Erweiterung einer punktweise unstetigen Funktion. 209
In der Tat, zunächst zeigt man in gewohnter Weise, daß die Menge e3*
aller Punkte von B95 ~1l, in denen die beiden Ungleichungen gelten:
cO(a; f, )>0; o'_ (a; f, r)>0,
von erster Kategorie in 9/ ist.
Die Menge 5 (51_ - 51- 5lI) ist als abzählbarer Teil von 15It (Kap. II, ~ 13,
Satz I) von erster Kategorie in 5f (Kap. I, ~ 4, Satz XXII). Es ist also auch
Q* +- 9 (W1 -- [+ f ) von erster Kategorie in XS, und mithin (Kap. I, ~ 8,
Satz XV):
Z = - - t (w2t - ) = (2t -_ 1) + (WS2f+ 1 - - *)
dicht in 21. Nun sind aber die Punkte von f - -19l1 die isolierten Punkte
von 5, und die Punkte von lf l1 1 - 23* sind solche, in denen mindestens
eine der Gleichungen (0) besteht. Also giltl) in jedem Punkte von (:
g(a; c,5 )=O.
Und da ( dicht in 51, folgt daraus (Kap. II, ~ 9, Satz VI), daß auch die
Menge aller Punkte von 2f, in denen co(a)= 0, dicht in 5 ist, d. h. f ist punktweise unstetig auf 21, wie behauptet.
~ 5. Erweiterung einer punktweise unstetigen Funktion.
Im Gegensatze zu den stetigen Funktionen ist eine auf 52 punktweise unstetige Funktion keineswegs völlig bestimmt durch die Werte,
die sie auf einem in 9 dichten Teile von 51 annimmt. Dies hat
zur Folge, daß hier, im Gegensatze zu Kap. II, ~ 5, Satz III, der
Satz gilt:
Satz I. Ist 91 eine relativ-vollständige Menge, deren
insichdichter Kern nicht leer ist, so hat die Menge aller
auf 51 punktweise unstetigen Funktionen mindestens die
Mächtigkeit 2c.
In der Tat, nach Kap. I, ~ 8, Satz VIII gibt es einen in 2C
nirgends dichten und abgeschlossenen Teil l von 1 der Mächtigkeit c. Die Menge aller Funktionen auf ( hat also die Mächtigkeit:
CC 2oc 2
und dasselbe gilt daher von der Menge aller Funktionen f auf 1,
die beliebig sind auf ( und gleich 0 auf 2 - -(. Ist a ein Punkt von
1 - d, so gibt es, da ( abgeschlossen in 21, eine zu X fremde Umgebung U (a) von a in 1, in deren sämtlichen Punkten also f== 0
ist; es ist somit f stetig auf 91 in jedem Punkte von - 1. Da
aber 0 nirgends' dicht in 91, so ist 2 - (S dicht in 51 (Kap. I, ~ 4,
Satz XIVa), d. h. f ist punktweise unstetig auf 21. Damit ist Satz I
bewiesen.
1) Dabei ist wieder (vermöge der Schränkungstransformation) f als beschränkt anzunehmen.
Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 14