Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

208 Die unstetigen Funktionen.
Sei nun a ein- beliebiger Punkt von 9, und U(a) eine beliebige Umgebung
von a. Da 9 - 3' dicht in 9, liegt zufolge (tt) in 1U(a) sei es ein Punkt von
9I- 9l1, sei es ein Punkt von 919t - -S3'. Die Punkte a' von 91- V[W1 sind
isolierte Punkte von 91, in ihnen ist also:
w (a') -- 0,
und somit:
(ttt) g(a';, 91) = 0.
In den Punkten a' von 9191' - 15' ist:
(o'(a'; f, 2[) -- 0,
mithin gilt, wie wir beim Beweise von Satz X sahenl), wieder (ttt). In
jeder Umgebung U1(a) liegt also ein Punkt von 91, in dem (ttt) gilt, d. h. die
Menge aller Punkte a' von 1, in denen (ttt) gilt, ist dicht in 9. Und da
w oberhalb stetig auf 91 (~ 2, Satz XII), so gibt es nach Kap. II, ~ 9, Satz VI
einen in 91 dichten Teil von ~, auf dem co =0. Das aber heißt: f ist punktweise unstetig auf 21, und Satz XI ist bewiesen.
Bei Funktionen einer reellen Veränderlichen können die Sätze X und XI
noch etwas verschärft werden durch Einführung der reduzierten einseitigen
Schwankungen.
Satz XII2). Ist 91 eine relativ-vollständige Menge des a3), und
gibt es einen in 91' dichten Teil von 91, in dessen Punkten f wenigstens einen einseitigen Grenzwert besitzt, so ist f punktweise unstetig auf It.
In der Tat, in jedem Punkte von 91', in dem f wenigstens einen ein-seitigen Grenzwert besitzt, ist (~ 2, Satz XI) wenigstens eine der Gleichungen
erfüllt:
(0),( ' (a;f, 9) 0; ~ (a; f,) = 0.
Ist aber im Punkte a von 91 eine dieser beiden Gleichungen erfüllt, so ist
dort auch4):
g(a; c, 9)= o.
Von da aus schließt man weiter, wie beim Beweise von Satz X.
Satz XIII5). Ist 91 eine relativ-vollständige Menge des ei, und
ist für jedes q>O die Menge aller Punkte von 9191t 19, in denen
die beiden Ungleichungen gelten:
o+(a;f,9)>q; t o(a;f,91)>q,
von erster Kategorie in 91, so ist f punktweise unstetig auf 91.
1) Man hat dabei wieder f als beschränkt anzunehmen, was vermöge der
Schränkungstransformation zulässig ist.
2) U. Dini, Grundlagen f. e. Theorie d. Funktionen einer veränderlichen
reellen Größe (1892) ~ 151.
3) D. h. (Kap. I, ~ 8, Satz II, V) 91 ist abgeschlossen oder ein o-Durchschnitt in einer abgeschlossenen Menge.
4) Man beweist dies (indem man wieder f als beschränkt annimmt) ganz
ebenso, wie beim Beweise von Satz X aus co'(a; f, 91) =0 auf (2). geschlossen
wurde; man hat nur an Stelle der dort benutzten reduzierten Umgebung U'(a)
nun eine der beiden einseitigen reduzierten Umgebungen von a zu verwenden.
5) V. Volterra, Giorn. di mat. 19 (1881), 84.