Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

:206 Die unstetigen Funktionen.
Aus diesen Sätzen fließen einige merkwürdige Folgerungen1):
Satz VI. Ist 91 relativ-vollständig, und ist sowohl die
Menge 3 aller Unstetigkeitspunkte als auch die Menge
W9-S aller Stetigkeitspunkte von f auf 91 dicht in 91, so
gibt es keine Funktion g, für die S die Menge aller Stetigkeitspunkte, 9 1-3 die Menge aller Unstetigkeitspunkte
auf 9 ware.
In der Tat, es wäre dann sowohl f als g punktweise unstetig
auf 91, also nach Satz III sowohl 3 als 91- 3 von erster Kategorie
in 91, entgegen Kap. I, ~ 8, Satz XVII.
Satz VII. Ist 9 relativ-vollständig, und sind
fl: f2, *.** f"n...
abzählbar viele auf 91 punktweise unstetige Funktionen,
so ist die Menge E aller Punkte von 91, in denen sämtliche
if stetig sind auf 91, dicht in 9.
Sei in der Tat S3 die Menge aller Unstetigkeitspunkte von t
auf 9. Dann ist nach Satz III 933 von erster Kategorie in 91, mithin (Kap. I, ~ 4, Satz XX) auch die Menge:
+ = + '... T * *....
Also ist (Kap. I, ~ 8, Satz XV) 9 —3= e- dicht in 91, wie behauptet.
Daraus nun folgt unmittelbar:
Satz VIII. Ist 91 relativ vollständig, und sind f, A:f
punktweise unstetig auf 91, so auch (falls sie auf 91 definiert sind) die Funktionen fi +f, f -f ff),.t
f2
In der Tat, nach Satz VII und nach Kap. II, ~ 3, Satz VII
liegen für jede dieser Funktionen die Stetigkeitspunkte dicht in 9(,
womit die Behauptung bewiesen ist.
Und in derselben Weise folgt aus Kap. II, ~ 3, Satz VIII:
Satz IX. Sei 9 relativ-vollständig, und seien fi, f...
endlich viele auf 9I punktweise unstetige Funktionen. Bedeutet f den größten (kleinsten) unter den k 'Funktionswerten f1, f2,..., fk, so ist auch f punktweise unstetig
auf 91.
Wir wollen nun in die Diskussion der punktweise unstetigen Funktionen
statt der bisher allein benutzten Schwankung co(a; f, 2) die reduzierte
Schwankung co'(a; f, t) einführen.
1) V. Volterra, Giorn. di mat. 19 (1881), 76.