Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

204 Die unstetigen Funktionen.
Satz I. Auf einer separierten Menge 2 ist jede Funktion
punktweise unstetig.
In der Tat, in einem isolierten Punkte von 91 ist jede Funktion /'stetig auf 2. Es ist also nur zu zeigen: ist 21 separiert, -so
ist die Menge 2' aller isolierten Punkte von 2 dicht in 21. Angenommen, 2i' wäre nicht dicht in 91; -dann gäbe es eine offene Menge (3,
so daß:
9. ( nicht leer, 21'. (5 leer.
Da also zu 921[ kein isolierter Punkt von 92 gehört, so ist 91f
insichdicht. Also ist der insichdichte Kern von 91 nicht leer,
und 1 wäre nicht separiert gegen die Annahme. Damit ist Satz I
bewiesen.
Für das Folgende bildet die Grundlage.der Satz:
Satz IL. Ist f endlich') und punktweise unstetig auf W,
so ist für jedes q>0 die Menge 23q aller Punkte, in denen:
ist, nirgends dicht in 21.
In der Tat, wäre 8 nicht nirgends dicht in 92, so gäbe es
einen nicht leeren, in- 2 offenen Teil 21' von 21, in dem 238 dicht
wäre. Weil aber nach ~ 2, Satz XVI 58 in 9X abgeschlossen ist,
so wäre (Kap. I, ~ 4, Satz X):
21'-<23.
In jedem Punkte der in 21 offenen Menge 21' würde also (*) gelten,
entgegen der Annahme, f sei punktweise unstetig, derzufolge die
Stetigkeitspunkte von f auf 92 dicht in 21 liegen, so daß auch in 1'
Eich ein Stetigkeitspunkt finden müßte. Damit ist Satz II bewiesen.
Satz III. Ist f punktweise unstetig auf 21, so ist, die
Menge 23 aller Unstetigkeitspunkte von f auf 91 von erster
Kategorie in 21.
In der Tat, vermöge der Schränkungstransformation, bei der
Stetigkeitspunkte in Stetigkeitspunkte, Unstetigkeitspunkte in Unstetigkeitspunkte übergehen, können wir f' als endlich annehmen.
1) Diese Voraussetzung kann nicht entbehrt werden. Beispiel: Sei % das
Intervall (0, 1) des'91i und f folgende Funktion der reellen Veränderlichen a:
f (a) - + o wenn a irrational,
f(a) = n wenn a= - (nm, n teilerfremde, natürliche Zahlen).
Dann ist f stetig auf 2 in jedem irrationalen Punkte; in jedem rationalen
Punkte aber ist:
co (a; f, 2)= + oo.