Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. III, ~ 4. Punktweise unstetige Funktionen. 203
und mithin auch:
~wo(a; f, 9X)>11
d. h. a ist Unstetigkeitspunkt.
Gehöre godann a zu V3V, 3'- 3_, 3'(oder zu 3' 3'). Dann ist:.
1
und a ist Häufungspunkt von 9- -3, d. h. von Punkten, in denen,
t': --- 4. Also ist a wieder Unstetigkeitspunkt.
Sei endlich a ein Punkt von 9- 3, somit:
(4) f(a)=0.
Eine Punktfolge {a,} aus 91 mit lim a= a kann aus jeder Menge e8,
nur -endlich viele Punkte enthalten; andernfalls wäre a Häufungspunkt einer Menge 38,, und da die, abgeschlossen in 91, Punkt
dieser Menge 8n, entgegen der Annahme, daß a Punkt von 9 1- 2.,
Da aber:
0~f<1 auf 91-.
und in {a,,} nur endlich viele Punkte zu 3, gehören, ist:
lim f(a,)= 0,
d.' h-bei Beachtung von (4): f ist stetig in a auf 91. Damit ist
Satz V bewiesen.
~ 4. Punktweise unstetige Funktionen.
Sei wieder % eine beliebige Punktmenge, f eine Funktion auf 9%,
Q3 die Menge ihrer Unstetigkeitspunkte, 1 - - die Menge ihrer
Stetigkeitspunkte auf 91. Neben den beiden extremen Fällen, daß
f-j(_8 (d. h. f stetig auf 91) und 91-358 leer (d. h. f totalunstetig auf 91), ist von besonderem Interesse der Fall: 9-I 8
dicht in 91.
Wir definieren: die Funktion f heißt punktweise unstetig1)
auf 91, wenn die Menge ihrer Stetigkeitspunkte auf 91 dicht in 91
ist. Die auf 91 stetigen Funktionen gehören also zu den auf a 9
punktweise unstetigen Funktionen.:) Oder punktiert unstetig. Dieser Begriff rührt her von H. IHankel,
*Gratulationsprogr. der Tübinger Univ. 1870 = Math. Ann. 20, (1887),: 89
- Ostw. Klass. Nr. 153, 74.