Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

202:;Die unstetigen Funkti onen.
Aus der Definition von folgt weiter:
(3),n n + ~
In der Tat, zunächst ist wegen (1) und (2):
Ferner ist:
( - 3n)' >- (t-i +i)1
Da aber ein Punkt von 3 niemals zu (gI-3,)1 gehört, so auch
nicht zu ( -23) +1), und somit auch nicht zu e,+,. Er gehört
also -zu V8+x, aber nicht zu ', +J, somit zu,'l+. Damit ist (3)
bewiesen.
Wenn nun e' nicht leer, so gibt es nach Satz IV, da b" insichdicht, eine auf 3',' total-unstetige Funktion f, die nur die beiden
Werte 0 und - annimmt.
n
Setzen wir:
$8^3 ^ 1 + w oi. 4...,
so haben wirl):
(ei 31 4 (e2 f.. + an en-i ) e * -
+ t+7 ( - ^:~') + * *@ + (n t Sn-1 t ); + * * *+ ('- L)
und wir definieren nun eine Funktion f auf 9 durch die Vorschrift:,
f-f, auf,; f==f auf r- -
fz auf 2; fz z auf -auf ' B;
f=-0 auf 2-$.
Wir behaupten: diese Funktion f ist unstetig auf 9t in allen
Punkten von S, stetig auf 92 in allen Punkten von I —S.
Sei, um dies zu beweisen, zunächst a ein Punkt von V und U(a)
eine beliebige Umgebung von a. Gehört a zu b"- '"_i (oder
zu e',), so gibt es unter den Mengen
31X 2> * '2 ) 1n
eine erste, die in Ut(a) Punkte hat, etwa t'v. Es gibt dann in t (a)
unendlich viele Punkte, in denen f'=- und f=0; es ist also:
t
c(f, 9fU(a))~-1> t1) Man beachte, daß E3, < - 1 + '. In der Tat, wegen 3' < - 3 < 93g 4
gehört jeder: Punkt von 23n ' auch zu sn+1 3', und da er als Punkt von
E' nicht zu V' I1 gehört, so gehört er zu 2D~ S t'
~~3/ nicht zw. ~ ~ - 4- 5'/