Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. II, ~ 3. Verteilung der Unstetigkeitspunkte. 201
Wegen (**) aber ist:
~(-+7tt+~r) I(aßp, > 2)
Da a~ als Punkt von U1(a; )) zu 9f -- gehört, wäre also wegen (j-)
und (-tt) für den Punkt aß (*) erfüllt, und es müßte also aß zu ~
gehören, entgegen der Annahme, daß 11 (a; ). leer ist. Damit ist
ein Widerspruch erreicht; es muß also ( in 1 dicht sein.
Ebenso beweist man, daß 9- ( in 9I dicht ist, und Satz IV
ist bewiesen.
Nun können wir das Schlußresultat unserer Untersuchung aussprechen:
Satz V1). Damit es eine Funktion / gebe, die unstetig
ist auf 91 in allen Punkten des Teiles S von 9S, stetig auf
1 in allen Punkten von f9-28, ist notwendig und hinreichend, daß e3 Vereinigung abzählbar vieler in 9 abge-schlossener Teile von?9191 sei.
Die Bedingung ist notwendig; dies ist schon in Satz I enthalten.
Die Bedingung ist hinreichend. Sei in der Tat:
3 = i + 2+... t 1 n
wo jedes St abgeschlossen in 91. Nach Kap. I, ~ 2, Satz XI können
wir annehmen:
(1) e
Wir zerlegen nun:
(2) = ' +- e
worin:
und behaupten: N' ist insichdicht.
Sei in der Tat a Punkt von 3'. Da dann a nicht Punkt von
(91- )1, gibt es eine Umgebung U1(a) von a, in der kein Punkt
von 1- 93, liegt. Dann aber liegt in Uo (a) auch kein Punkt von
S3>, d a 9ja, -<(- %)l, also jeder Punkt von e', Häufungspunkt
von 91-3 ist. Sei nun U (a) eine beliebige Umgebung von a. Da
liegen in 11(a) U (a) unendlich viele Punkte von 91, und da sie
weder zu 91- 9S8 noch zu S' gehören, gehören sie zu e3. Also
ist 93 insichdicht wie behauptet.
1) Für Funktionen einer reellen Veranderlichen zuerst bewiesen von W. H.
Young, a. a. 0. 1312.