Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. III, ~ 2. Die Schwankung einer Funktion. 197
so gibt es zu jedem q>p eine endliche Anzahl in 2 offener
Mengen 91, 912...2,, mit folgenden Eigenschaften:
1. Es gibt in 9 nur endlich viele Punkte, die nicht zu
gehören;
2. es ist o(f, )<q (i1, 2,...,k).
In der Tat, wegen (*) gibt es, wenn q> p, zu jedem a von 91'
eine reduzierte Umgebung U'(a), so daß (Satz IX):
(f, u' (a)) < q.
Durch Hinzufügung von a zu U'(a) entsteht eine Umgebung von a,
die mit 11(a) bezeichnet werde.
Nach Kap. 1, ~ 3, Satz XVIII ist 91' kompakt, nach Kap. I,
~ 3, Satz VIII ist 9/1 abgeschlossen. Also gibt es nach dem Borelschen Theorem (Kap. I, ~ 6, Satz I) in 9s1 endlich viele Punkte
al,~,...,, a so daß jeder Punkt von 91 innerer Punkt von:
= 11 (a+ U (a) +...+U (a,)
iJt. Außerhalb dieser Menge W' kann es also nur endlich viele
Punkte von 9 geben1). Also können wir die reduzierten Umgebungen U' (a,), 91U'(a2),..., 91U' (a) für die Mengen 91, 9,,.... ^,
der Behauptung wählen, und Satz XX ist bewiesen.
Satz XXI. Unter den Voraussetzungen von Satz XX gibt
es, wenn q>p, in 9~ nur endlich viele Punkte, in denen:
Angenommen in der Tat, es gäbe ihrer unendlich viele. Da
mit %9 auch 9o kompakt ist (Kap. I, ~ 3, Satz XVIII), hätten diese
Punkte einen Häufungspunkt a, der gewiß zu W1 gehört. In jeder
reduzierten Umgebung von a gäbe es dann, wenn q > q' >p, Punkte
a, a von 9, so daß:
f(at)- f(a") > q' >p,
im Widerspruche zur Voraussetzung, daß, in jedem Punkte von 1X
(*) von Satz XX gilt. Damit ist Satz XXI bewiesen.
Handelt es sich um Funktionen einer reellen Veränderlichen, so können
auch die einseitigen Schwankungen herangezogen werden. An Stelle von
Satz XX erhalten wir:
l) Denn gäbe es unendlich viele, so hätten sie, weil X kompakt, einen
Häufungspunkt; es gäbe also einen Punkt von 91, der nicht innerer Punkt
von W' wäre.