Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

196 Die unstetigen Funktionen.
so gibt es zu jedem q>p ein > 0, so daß für jedes Punktepaar a', a" aus 95, dessen Abstand:
r (a, a") <
ist, die Ungleichung besteht:
f(a')- f(a") < q
Angenommen in der Tat, der Satz wäre nicht richtig; dann gibt
es ein q >p und eine Folge von Punktpaaren an', an" (n 1,,..)
aus 9f, für die:
(tt) lim r (a,', a") -0; ' f(af') - f(a>") > p
Da t kompakt ist, hat die Folge,{a}, einen Häufungspunkt a; er
gehört gewiß zu 9~. In {a/'} gibt es eine Teilfolge {a' } mit:
lim a -= a.
}s = 0o
Wegen der ersten Relation (tt) ist auch:
lima, ==a,
'V-=O
infolgedessen wegen Satz VI:
If(a^") -— f <^1 q für fast alle r,
im Widerspruche mit der zweiten Relation (tt). Damit ist Satz XVIII
bewiesen.
In ganz derselben Weise zeigt man (vgl. Kap. II, ~ 4, Satz X):
Satz XIX. Ist 91' ein kompakter Teil der beliebigen
Menge W9, ist die auf 91 definierte Funktion f beschränkt
auf 9', und ist:
(a; f,() < p auf (%')~,
so gibt es zu jedem q>p ein p>0, so daß für alle a'von %'
und alle der Ungleichung
r (a', a") <!
genügenden a" von 91:
If(a') — f(a")I 1.<q
Wir untersuchen nun, was aus Satz XVIII wird, wenn statt
der Schwankung die reduzierte Schwankung eingeführt wird1).
Satz XX. Sei 91 kompakt und f beschränkt auf t9. Ist:
(*) Co/'(a; f, 9) ~p auf wr,
1) Vgl zu diesem und-den folgenden Sätzen: M. Pasch, Math. Ann. 38
(1887), 140.