Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. III, ~ 2. Die Schwankung einer Funktion. 195
Satz XVII1). Ist in allen Punkten von.:
(*) üo(a; f, A) _,
so kann ' zerspalten werden in zwei Summanden:
= f l-f-f2,
deren einer f/ stetig ist auf X, während der andere der
Ungleichung genügt:
(**) f <.In der Tat, wegen (*) ist:
G(a; f, )- g (a; f>)+
Nach Kap. II, ~ 11, Satz II ist die links stehende Funktion oberhalb, die rechts stehende unterhalb stetig auf 9. Nach Kap. II, ~ 10,
Satz IV gibt es daher eine auf 91 Hstetige Funktion fl, so daß:
G(a; f, 3 < fi,(a) < g (a; f, i)+.
(a;, -2 2
Dann ist auch (Kap. II, ~ 2, Satz II):
(~**)~ ( (a)- < fi (a) < f (a) 2
2 2
Setzen wir also:
f2 (a)-f (a)- f, (a)
(wobei unter dieser Differenz der Wert 0 zu verstehen ist, wenn f(a)
und f (a) denselben unendlichen Wert haben), so ist wegen (***)
auch (**) erfüllt, und Satz XVII ist bewiesen.
Mit Satz XVII steht in enger Beziehung folgende Verallgemeinerung des Satzes von der gleichmäßigen Stetigkeit (Kap. II, ~ 4,
Satz IX):
Satz XVIII2). Sei 9 kompakt und f beschränkt3) auf 9. Ist:
(t) co(a, f, 9) p auf 20,
1) H. Hahn, Wien. Ber. 126 (1917), 109. Für Funktionen einer reellen
Veränderlichen war der Satz bewiesen worden von R. Baire, Ann. di mat.
(3) 3 (1899), 57, wobei aber in (**) q statt | auftrat. Die Majorante | für ft 1
kann offenbar nicht weiter verringert werden.
2) T. Broden, Acta Univ. Lund. 33 (Neue Folge 8) (1897), 38;
R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 15; E. R. Hedrick, Am. Bull. (2) 13
(1907), 378.
3) Setzt man 91 auch als abgeschlossen voraus, so genügt es, f als
endlich anzunehmen; daß f beschränkt ist, folgt dann von selbst.
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