Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

190 Die unstetigen Funktionen.
Satz XIV. Ist f eine auf der Punktmenge 2 des 9lS definierte
Funktion einer reellen Veränderlichen, so ist die Menge l* aller
Punkte von 92+, in denen (0) gilt1), abzählbar.
Wie beim Beweis von Satz X bezeichnen wir mit r, (n== 1, 2,...) die
sämtlichen Intervalle des 9i mit rationalen Endpunkten, mit 92, die Menge
aller jener Punkte von 9I1, in denen h (a; f, Z) einen Wert aus n, enthält,
h+ (a; f, 91) aber nicht. Wie beim Beweise von Satz X zeigt man, daß es zu
jedem a von 92, eine rechtsseitige reduzierte Umgebung (a, a +e) und ein
E>0 gibt, so daß, wenn,=- [r', r"], die Funktion f in 9-.(a, a+,o)
keinen Wert aus [r'-e, r" — e] annimmt, woraus wie beim Beweise von
Satz X folgt: in (a, a -4- ) liegt kein Punkt von 91,.
Kein Punkt von 91% ist also rechtsseitiger Häufungspunkt von 1,,, also ist
(Kap. II, ~ 13, Satz I) 9,, abzählbar.
Da auch hier wieder, wie beim Beweis von Satz X:
so ist auch 9* abzählbar, und Satz XIV ist bewiesen.
Aus ihm folgt unmittelbar:
Satz XV. Ist f eine auf der Punktmenge 91 des 91R definierte
Funktion einer reellen Veränderlichen, so ist die Menge aller
Punkte von 9-.%91', in denen:
h+ (a; f, 9W) h_ (a; f, Sr)
ist, abzählbar.
Und daraus insbesondere nach Satz XIII:
Satz XVI. Ist f eine auf der Punktmenge SI des 9i definierte
Funktion einer reellen Veränderlichen, so ist überall auf 92t-9ll,
abgesehen von einer abzählbaren Punktmenge:
G; (a; f, ) (; f, ); g_ (a; f, 92) = gL (a; f, W).
~ 2. Die Schwankung einer Funktion.
Ist die Funktion f definiert auf 9, so verstehen wir unter der
Schwankung von f auf 91 den Ausdruck:
- (f, )= G (f, 9)- (f; 9).
Diese Definition versagt, wenn:
G(f, 91)=g(f, 91)=-+ oder G (f, 1)-=g(f, 91)= — c,
d. h. wenn auf ganz 9:
f=+ oo bzw. f=-oo.
In dem Falle setzen wir fest:
co (f, )=o.
Es ist also stets:
o(f, W)>o,
und zwar gilt:
1) Ebenso die Menge aller Punkte von W9I, in denen:
h (a; f, '1) + h- (a; f, l).