Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

8 Grundbegriffe der allgemeinen Mengenlehre.
Wir beweisen die folgenden Rechnungsregeln:
Satz V. Bedeutet e eine endliche Mächtigkeit >01),
so ist:
(*) o+e = No; No+ o = o; e o = o; No'o = o.
Es wird genügen, die letzte dieser Formeln zu beweisen, da aus
ihr, mit Hilfe von Satz II, die andern sofort folgen2). Erinnert
man sich an die Definition des Produktes zweier Mächtigkeiten, so
ist zu zeigen:. "Die Menge aller Paare (m, n) natürlicher Zahlen ist
abzählbar-unendlich. "
In der Tat, wir setzen:
(m + n - 2)(m + n - )
(**) 2- n= 2.
Da aus:
(m +n-2)(m+-n ) ) (m'+n'- 2)(m + n' -l)
2 -+ 2+
folgta):
m === w, n = n',
so ist dadurch eine eineindeutige4) Abbildung.der Paare (m, n) auf
die natürlichen Zahlen 1, 2, 3,..., v,... gegeben, und die Behauptung ist bewiesen.
Aus der hiermit bewiesenen Tatsache, daß die Menge aller
Paare natürlicher Zahlen abzählbar-unendlich ist, folgt leicht:
1) Es ist also e eine natürliche Kardinalzahl.
a) Denn es ist nach Satz I: K+g +_ e ~ o + - = 2 * o e. o x o. o.
3) In der Tat, man setze:
m - n - 1 = k, m' + n' -1 = k'.
Dann ist
(t) 1 nk', n'<k'.
Ist dann k k', n >n', so ist offenbar:
(k - 1) k (K — 1) k'
(tt) ( 2 +n> +n.
2 +n>2 -
Ist hingegen:
k>k, d. h. k'<k-l,
so ist wegen (t):
(k - 1) k (k- 1) k (K - 1) k' (+ff - 1) k' (k-1) k
2 +2;2 w2 2
und somit gilt wieder (tt).
~) Um zu sehen, daß jede natürliche Zahl v in der Form (**) erscheint,
bestimme man die natürliche'Zahl k aus:
(k - 1) k < k (k - 1)
2 2