Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

188 Die unstetigen Funktionen.
wo b offen. Ist dann der Punkt a von 31 auch Punkt (und mithin innerer
Punkt) von q, so ist offenbar:
h (a; f, )==h (a; f, Q).
Von Interesse ist also nur der Fall, daß a Begrenzungspunkt von 5
ist. Wir bezeichnen dann die Werte h(a; f, 9 3) als die Häufungswerte
von f in a auf 91 bei Annäherung durch 3. Natürlich wird dabei die
Wertmenge h (a; f, 91 3) von der Wahl der offenen Menge q abhängen.
Immerhin aber besteht hier folgende merkwürdige Tatsache:
Satz X1). Die Menge A* aller Punkte a von 1', in denen für
mindestens eine offene Menge (
h (a; f, (s ) + l(a; f, St)
ausfällt2), ist von erster Kategorie in 92~.
Beim Beweise können wir, vermöge der Schränkungstransformation, ohne
weiteres f als beschränkt annehmen. Wir betrachten die Menge aller Intervalle [r', r"] mit rationalen Endpunkten. Ebenso wie die Paare rationaler Zahlen bilden sie eine abzählbare Menge, und können daher bezeichnet
werden mit:
31) 52 >... *. n,
Sei 9,1 die Menge aller Punkte a von 291, in denen h (a; f, 91) einen Wert
aus S, enthält, während für mindestens eine offene Menge 3 h (a; f, 9X (S) keinen
Wert aus 3, enthält3). Wir zeigen zunächst: 1~, ist nirgends dicht in V1.
Sei also a ein Punkt von 1~,, und sei etwa
S, -- [r', r"].
Es gibt dann ein Q > 0 und ein e > 0, so daß auf U (a; e) 2W die Funktion f
keinen nach [r' -e, r" -- ] fallenden Wert annimmt4). In jedem Punkte a'
von U (a; e) 210~5) enthält dann h (a'; f, 1) keinen Wert aus 3,; kein Punkt
von U (a; e) 290 ( kann also zu 9,^ gehören; also ist. 21, nirgends dicht in 91~,
wie behauptet (Kap. I, ~ 4, Satz XIV).
Sei nun a ein Punkt von 9*. Es gibt also eine Zahl x und eine offene
Menge (, so daß a Punkt von ( ( )1, und weiter so, daß x in h(a; f, 91),
nicht aber in h (a; f, 2 1) vorkommt. Nach Satz VII ist nun aber die Wertmenge h (a; f, 1 C() abgeschlossen; es gibt also unter unseren Intervallen 2,
eines, das zwar x, aber keinen Wert von h (a; f, 29 () enthält. Das aber heißt:
1) Ein Spezialfall dieses Satzes wurde bewiesen von W. H. Young, Lond.
Proc. (2) 8 (1910), 117.
2) Dabei muß a zu (91 )1' gehören, da sonst h (a; f, (5) keinen Sinn
hätte.
3) Wie schon erwähnt, ist dann a nicht Punkt, sondern nur Begrenzungspunkt von 1S.
4) Denn andernfalls gäbe es in U (a; -) (q einen Punkt a, (+ a) von,
so daß: n/
r'- < f (a < r" +
und es hätte demzufolge h (a; f, W (3) einen Wert in [r', r"].
5) Solche Punkte gibt es, weil nach Voraussetzung a zu ( 21/)1 gehört
(Fußn. 2).