Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

180 Die unstetigen Funktionen.
Sei in der Tat 91' die Menge aller Punkte von Q1', in denen
li(a; f, 9) mindestens einen zu X gehörigen Wert hat, und sei ao
Häufungspunkt von 91'. Dann gibt es in 91' eine Punktfolge {aj},
so daß:
(*) lim a== ao, q, + a,
n= oo
und zu jedem a, gibt es in h (a,; f, 91) einen zu X gehörigen Wert 1,.
In der Folge {, } gibt es eine konvergente Teilfolge {n,}':
(**) liml =-,
J-'= 00
und weil X abgeschlossen, gehört 1 zu X. Wir haben nur mehr zu
zeigen, daß 1 unter den Werten von h (ao, f, 9X) vorkommt.
Beim Beweise können wir, vermöge der Schränkungstransformation (Satz III), ohne weiteres annehmen, f sei beschränkt, und
somit alle i. und 1 endlich. Da l, ein Wert von h (an,; f, 91) ist,
gibt es (Satz I) in 91 einen Punkt a += ao, so daß:
r(a<, a) < f(a') -l i<
Aus (*) und (**) folgt dann:
lim a,.2-= %a0; a,, + a%, lim f (a',) 1.
v:= = C
D. h. 1 ist ein Wert von h (a0; f, 91), und somit gehört ao zu 91'. Also
ist 91' abgeschlossen, und Satz V ist bewiesen.
Satz VI. Ist 3X eine beliebige Menge reeller Zahlen, so
ist die Menge 91' aller Punkte a von 91, in denen alle Zahlen
aus X unter den Werten von h(a;f, 91) vorkommen, ab-.
geschlossen.
In der Tat, sei 1 eine beliebige Zahl aus X. Nach Satz V ist
die Menge ^9 aller Punkte von 91', in denen 1 unter den Werten
von h (a; f, 91) vorkommt, abgeschlossen. Dasselbe gilt daher (Kap. I,
~ 2, Satz VI) für den Durchschnitt der Mengen 2t, für alle möglichen
1 aus X. Damit ist Satz VI bewiesen.
Die Natur der Wertmenge h (a; f, 91) in einem Punkte a läßt
sich völlig charakterisieren; es gelten diesbezüglich die folgenden
Tatsachen 1):
Satz VII. Die Menge aller Häufungswerte h(a; f, 91) einer
Funktion f in einem Punkte a von 91 ist eine abgeschlossene
Zahlenmenge.
1) R. Bettazzi, a. a, 0.