Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Drittes Kapitel.
Die unstetigen Funktionen.
1~. Häufungswerte einer Funktion.
In Verallgemeinerung der Definition des Grenzwertes einer
Funktion auf einer Punktmenge (Kap. II, ~ 11, vgl. insbesondere
Satz VIII) definieren wir: Ist a Häufungspunkt von 9[ (d. h. Punkt
von 911), so heißt die Zahl 1 ein Häufungswert') von f in a auf
91, wenn es in 91 eine Punktfolge {a,} gibt, so daß
lim a, a; a limn f(a,) =l.
=- o n'-=oo
In Analogie zu Satz X von Kap. II, ~ 11 gilt:
Satz I. Damit 1 Häufungswert von f in a auf 91 sei,
ist notwendig und hinreichend, daß es in jeder reduzierten
Umgebung U'(a) von a in 91, sei es zu jedem Intervalle (p, 1],
sei es zu jedem Intervalle [1, q), einen Punkt a' gebe, derart, daß der Funktionswert f (a') zu (p, 1], bzw. zu [1, q)
gehört.
Die Bedingung ist notwendig; denn sei 1 Häufungswert von f
in a auf 91, und sei {a,} eine Punktfolge aus 91, so daß:
(t") lirm a,- = a; an + a; lim f(a),)=.
n=c n=oo
Ist U' (a) irgendeine reduzierte Umgebung von a in 91, so gehören
fast alle a, zu U'(a). Ist p< l, ql, so ist
f (a >p; f (a)< q
für fast alle n. Damit aber ist die Behauptung bewiesen.
Die Bedingung ist hinreichend. In der Tat, es gehöre in
1) R. Bettazzi, der sich zuerst systematisch mit diesem Begriffe befaßt
hat (Rend. Pal. 6 (1892), 177) sagt ~un confine di f".