Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

182 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen.
Wir haben also, um (1) nachzuweisen, nur mehr zu zeigen:
(2) lim G- (an) > G' (a,).
n= Qo
Angenommen, es gelte (2) nicht. Dann gäbe es eine Zahl p:
p < G' (a)
und eine Teilfolge {a,} von {an}, so daß
G (anv,) <p < G' (ao) für alle v.
Zu jedem a,,, gibt es daher ein eQ, so daß:
(3) f(a) <p in 2. (an, a,+,,, - ).
Dabei kann,< t angenommen werden.
Da a,. Punkt von 921 war, ist 2'(an,,, an,, +- l) nicht leer; und da diese
Menge ebenso wie Vf insichdicht ist (Kap. I, ~ 4, Satz II), hat 29 (a,,,,, a,,,- +,,)
die Mächtigkeit c (Kap. I, ~ 8, Satz IX). Da aber W9 - 92+ abzählbar ist
(Satz I), gibt es in (a, a + e,) auch einen Punkt a, von 91f.
Wegen (3) ist nun
(4) G (a',) < p < ' (o)
Da aber ai in (an,, a,, + e,), folgt aus:
lim a,,,=o; < 0<, <,
daß:
lim a, — ao.
= 00
Also steht (4) in Widerspruch mit der vorausgesetzten Stetigkeit von G'(a) in
aO auf 2W. Damit ist (2) bewiesen, und der Beweis von Satz XIII beendet.
Satz XIV. Ist S2 insichdicht1), und ist sowohl G'+(a) als
auch2) GL (a) stetig auf 9212L im Punkte a0 von 21t2fL, so ist G'(a)
in aC stetig auf 921, und es ist:
G' (ao) = G (ao)= d' (ao).
In der Tat, nach Satz IV besteht mindestens eine der beiden Gleichungen:
(*) G'(ao)'== G(a0); G'(a0) G= (ao),
1) Eine Voraussetzung über 2 kann nicht entbehrt werden. Beispiel:
Es bestehe 2 aus den Punkten -t+ - und - ( = l1 2...)
2rn 27'+" +
und es sei:
f( 2t 2n- + i -)1; f(- 2- 2 -- 1.
Dann ist:
G+ (a)==1 auf 2f; G- (a) ==- auf 1L,
trotzdem ist G'(a) unstetig in a 0.
2) Es genügt nicht, wenn nur eine der beiden Funktionen G +(a), G' (a)
stetig ist in' aO. Beispiel: Sei f= l in den Punkten - - (n== 1,,...),
sonst f- 0. Dann ist überall GS (a) = 0, hingegen ist G' (0) 1, sonst
G' (a) 0.