Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

180 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen.
in jedem') Punkte von 9f, so ist die Menge der Punkte, in denen
f_~c ist, dicht in 922).
Vermöge der Schränkungstransformation können wir f als beschränkt, c
als endlich annehmen.
Sei ao ein beliebiger Punkt von 92 und l(ao) eine Umgebung von aO;
wir haben zu zeigen, daß in 11(a,) ein Punkt a' von 29 liegt, für den f(a')< c ist.
Da (*) auch in ao gilt, gibt es in dl(a0) einen Punkt a, von 92, in dem
f(a) <+ c + i;
und da f rechtsseitig oberhalb stetig ist, gibt es ein Intervall [at, a +-Qei
-< U(a0), so daß
f(a)<c — 1 in 21 X [Ca,, a +3-ei
Wegen (*) (für a a,) gibt es in [a1, a, -- o) einen Punkt a. von 91,
in dem
f(a2) < c +-.
und daher ein Intervall [a, a a,, a -- ] [, so daß
f(a)<c+-^ in 2 9l[a",a2+ - 2].
Indem man so weiter schließt, kommt man zu einer monoton wachsenden
Punktfolge {a,} aus 2f und zugehörigen Intervallen [an, an +~,] von folgenden Eigenschaften: Es ist:
(**) [an an+o,] -< [al-, an- + n -),
(***) f(a) <c in 92. [an, an,-Oe]
Wegen (**) liegen für n > no alle a, in [an", a+, +-,no).
Da 92 linksseitig abgeschlossen ist, gehört lim a,n = a' zu 91, und f(a') gefl= oo
nügt sämtlichen Ungleichungen (***), d. h. es ist:
f(a') < c.
Da ferner [a, a, a+ e1] -< i(a0) war, so liegt a' in 1U(a), und Satz IX ist bewiesen.
In Analogie zu ~ 11, Satz II gilt:
Satz X. Es ist stets G+(a; f, 1) rechtsseitig oberhalb, g+(a; f, 91)
rechtsseitig unterhalb stetig auf 91~-.
abzählbar viele Teile 3,, (n= 1, 2,...) spalten, deren jeder in 91 dicht ist.
Man definiere: f== - auf 23, (n- = 1, 2,..), f== auf 91I_. Dann ist f rechtsn
seitig oberhalb stetig auf 91; in jedem Punkte von 91 ist g(a;f, 91) 0,
trotzdem ist überall f> 0.
1) Es genügt hier nicht, daß (*) auf einem in 21 dichten Teile von 91 erfüllt sei, wie das Beispiel von Fußn. 2) S. 179) zeigt, wo g+(a; f, 1) 0 auf
dem in 21 dichten Teile 921 erfüllt ist.
2) Im Gegensatze zu ~ 9, Satz V, kann hier nicht behauptet werden, daß
die Menge aller Punkte von 92, in denen f > c ist, von erster Kategorie in 91
sei. Beispiel: Sei 91 eine nirgends dichte perfekte Menge und f= 1 auf 9l-_,
/==0 auf 921-921l. In jedem Punkte von 91 ist g+(a; f,)l)== 0, die Menge
91}, auf der f=-1, ist aber von zweiter Kategorie in 92. - Ist 92 ein Intervall, so zeigt ein dem Beweise von Satz V, ~ 9 analoger Beweis, daß auch
hier die Menge aller Punkte, in denen f[> c ist, von erster Kategorie ist.