Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. II, ~ 12. Vernachlässigung von Teilmengen. 173
Im Gegensatz zu ~ 3, Satz II kann aus dem Bestehen der
Gleichung (0) S. 170 nicht auf die Stetigkeit von f in a auf 91 geschlossen werden. Wohl aber gilt in Analogie zu ~ 3, Satz III:
Satz XII. Damit f stetig sei auf 91 im Punkte a von 919',
ist notwendig und hinreichend, daß:
g' (a; f, 5) = G' (a; f, X/) - f(a),
d. h. daß f in a auf 91 den Funktionswert f(a) zum Grenzwert habe.
Besitzt f im Punkte a von VltW1 einen Grenzwert auf 91, der
aber + f(a) ist, so heißt f hebbar unstetig in a auf 91. Es kann
nämlich die Unstetigkeit von f in a durch bloße Abänderung des
Funktionswertes f(a) in den Grenzwert von f in a behoben werden.
Satz XIII. Ist 5991' separabel, und hat f in allen Punkten
von 9S9ll einen Grenzwert auf 91, so unterscheidet sich f
von einer auf 91 stetigen Funktion nur in einer abzählbaren Punktmenge.
In der Tat, nach Annahme ist in allen Punkten von 9191:
(0) g'(a; f, 5)= G'(a; f, 1).
Wir setzen nun:
(00) f*(a)} f (a) auf 91 91 9
( oo) f* (~)= g' (; f, ( )= G' (a; f, () auf 9191'.
Wegen Satz VII unterscheidet sich dann f von f* nur in einer abzählbaren Punktmenge. Und wegen Satz IV ist f* sowohl oberhalb
als unterhalb stetig auf 911, und mithin stetig auf 9191. Ist aber a
irgendein Punkt aus 9 911 und {a,} eine gegen a konvergierende
Punktfolge aus 91- 91f1, so ist wegen (0), (00) und Satz V:
lim f* (a")- lim f(a,)= ' (a; f, ) = G' (a; f, 51) = f* (a).
n = 'oo n = 00
In jedem Punkte von 91911 ist also f* auch stetig auf 91. In jedem
Punkte von 91 --- 11 aber ist f* gewiß stetig auf 91, da diese
Punkte isoliert sind. Also ist f* stetig auf S1, und Satz XIII ist
bewiesen.
~ 12. Vernachlässigung von Teilmengen.
Sei eine Menge E von Teilen der Menge 91 gegeben, gemäß folgenden
Bedingungen:
1. Ist ( eine Menge aus E, so auch jeder Teil von (91).
2. Sind ( 2,.,...,,... abzählbar viele Mengen aus E, so gehört
auch ihre Vereinigung " ( + -... + e~ + -.. ~ zu E.
1) Da die leere Menge Teil jeder Menge, so kommt auch die leere
Menge in E vor.