Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. II, ~ 11. Die Schrankenfunktionen als halbstetige Funktionen. 169
Aus Satz III folgt nun:
SatztIV. Ist f eine beliebige Funktion auf 9f, so ist ihre
reduzierte ob ere Schrankenfunktion G'(a; f, 9) oberhalb stetig,
ihre reduzierte untere Schrankenfunktilon g'(a; f, i) unterhalb stetig auf 91.
Die im vorstehenden gegebene Definition der reduzierten Schranken
entspricht der topologischen Definition von oberer und unterer
Schranke einer Funktion (~ 2, Satz IV). Wir hätten ebensogut von
einer der allgemeinen Definition analogen ausgehen können. Wir
begnügen uns damit, den leicht beweisbaren Satz auszusprechen:
Satz V. Ist {an} eine Punktfolge aus 91 mit lima,=z=a, in
der alle a,,4 a sind, so ist: W=-o
lini f(aj() < G'(at f, 92); lim f(a) > g'(a; f, 91),
n_ a: n.-==
und es gibt in 91 zwei Folgen {a'} und {a,} der genannten
Art, so daß:
lim f(ca) - G'(a; f, 91); lim f(a) = g'(a; f, 2).
Aus der Definition der reduzierten Schrankenfunktionen folgt
unmittelbar:
Satz VI. In jedem Punkte a von 91X ist:
(; f g(a; f, 99)fgg ' (a; f, t))G 'G(a; f, (a; f, );
in jedem Punkte a von 9l1-9lf1 ist:
9'(a; f, A)= g(a; f, l); G'(a; f, 9t)=-G(a; f, %).
In der Tat, es ist, weil U'(a)-< Ul(a), stets:
g (f, U'( a) >) Z g (f, U (a) m); G (f, U' (a) G) _ G (f, U (a) A);
für jeden nicht zu 9 gehörigen Punkt aber ist I'(a) 91 == 11 (a) 9,
und mithin:
g (f, U'(a) 9) = g (f, 11 (a) 92); G (f, U'(c) 9) - G (f, U (a) 9l),
woraus Satz VI sofort folgt.
Das Bestehen der (zu Ungleichung (00) in Satz II von ~ 2 analogen) Ungleichung:
(tr) S'(a; f, 9)f(a)G'(a; f, 9)
kann hier nicht mehr allgemein behauptet werden, da die reduzierten
Schrankenfunktionen ohne Rücksicht auf den Funktionswert f(a) gebildet sind. Wohl aber gilt: