Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

6 Grundbegriffe der allgemeinen Mengenlehre.
von 3, dem durch A das Element a von 2f zugeordnet ist, ein
Urbild') von a.
Die Abbildung A von 3 in f habe nun folgende Eigenschaften:
1. Verschiedene Elemente aus e haben verschiedene Bilder
in 91:
ab + ab', wenn b + b'.
2. Jedes Element von 1i ist Bild eines Elementes von 3.
Dann hat jedes a aus 91 in 23 ein und nur ein Urbild, das wir
mit ba bezeichnen können:
b-=ba wenn a===a.
Es ist also durch die Abbildung A nicht nur jedem Elemente
von 3 ein Element von 9 zugeordnet, sondern auch jedem Elemente von 91 ein Element von 3, nämlich sein Urbild. Eine solche
Abbildung A heißt eine eineindeutige Abbildung (oder Zuordnung) der Mengen 91 und 3.
Gibt es eine eineindeutige Abbildung von 9 und 93, so heißen
1 und 3 gleichmächtig2). Die Eigenschaft, die eine Menge 91
und alle ihr gleichmächtigen von den übrigen Mengen unterscheidet,
heißt die Mächtigkeit (oder Kardinalzahl) der Menge 9 (und
jeder mit 9 gleichmächtigen Menge). Die Mächtigkeiten der endlichen Mengen sind die natürlichen Zahlen (in ihrer Verwendung als
Kardinalzahlen). Ist a die Mächtigkeit von SW, b die von 3, so bedeutet a=b: die Mengen 1 und e3 sind gleichmächtig.
Die Mächtigkeit a von I1 heißt größer als die Mächtigkeit b
von 3, in Zeichen:
a>b oder b<a,
wenn 3 gleichmächtig ist mit einem Teile von 91, aber nicht mit r
selbst3). In üblicher Weise bedeutet a b soviel wie:
a> oder a b.
Summe, Produkt, Potenz zweier Mächtigkeiten werden definiert durch folgende Festsetzungen4): sei [ eine Menge der Mächtig1) Diese Bezeichnung stammt von F. Hausdorff, Grundzüge der
Mengenlehre (1914), 43.
2) Dieser Begriff, sowie der ganze Inhalt dieses Paragraphen stammen
von G. Cantor.
8) Daß die Relationen a> b und a < b sich ausschließen, und daß stets
eine der drei Relationen a = b, a > b, a < b eintritt, werden wir erst später
zeigen können: ~ 4, Satz XXI.
4) Für endliche Mengen reduzieren sie sich auf die bekannte Definition
von Summe, Prodükt und Potenz natürlicher Zahlen.