Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. II, ~ 11. Die Schrankenfunktionen als halbstetige Funktionen. 167
In der Tat, wegen f~ f fund weil 91 -< ~o, ist zunächst:
(2) G gfn) > G 0 ) ^ G ^X).
Ist sodann p irgendeine Zahl:
(3) < c f, ~o),
so gibt es in 992~0 mindestens einen Punkt b, in dem:
f(b) =C (b; f, 9) > p,
mithin, da 93 offen, also 93 9 eine Umgebung von b in 9 ist, gibt
es (~ 2, Satz VII) in 93 9 einen Punkt a, in dem
f(a)> p.
Also ist auch:
G(fm V31)i>p,
und da dies fiir jede (3) genügende Zahl p gilt, ist:
(4) G (f, 1) G> (f, 3o0).
Aus (2) und (4) folgt die erste Gleichung (1), und analog beweist
man die zweite.
Satz II1). Ist f eine beliebige Funktion auf 91, so ist ihre
obere Schrankenfunktion G(a; f, l) oberhalb stetig, ihre
untere Schrankenfunktion g (a; f, 91) unterhalb stetig auf der
abgeschlossenen Hülle 90~.
In der Tat, machen wir wieder von der Bezeichnungsweise (0)
Gebrauch. Nach ~ 2, Satz IV ist G (a; f, 91) = f(a) die untere Schranke
von GC(f, 9391) für alle a enthaltenden offenen Mengen 98 (d. h. für
alle Umgebungen von a in 91). Und ebenso ist G (a; f, 910) die untere
Schranke von G (f:, 310) für alle a enthaltenden offenen Mengen 93.
Nach Satz 1 aber ist:
und mithin auch:
f(a)= G ('a: f', 9) G (a; f, 91~),
also ist (~ 8, Satz I) f oberhalb stetig auf 0(O. Analog beweist man,
daß f unterhalb stetig auf 910, und Satz II ist bewiesen.
Satz II ist nur ein Spezialfall des allgemeinen Theorems2):
Satz III. Sei 91 eine Punktmenge, 93 ein Teil von 91~, und
sei jeder Umgebung U (a) jedes Punktes a von 3 eine Zahl
1) R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 6.
') Satz II entsteht aus Satz III, indem man setzt:
e (R(a))=~ G( f tV(a~).