Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. II, ~ 10. Stetige und halbstetige Funktionen, 165
Daher ist auch:
[h: - g9. h ] [ h -9g-~ 2] [h2 -g3] [h — 3 ]
lim [h,, --- g] = lim [h. - g,4-i1] 0.
Also ist
(5) g y+ [-, -- [ g] - [hl - ] 51- [h - g1] - [l.2 -- gs] +
eine alternierende Reihe mit monoton abnehmenden, gegen 0 konvergierenden Gliedern, mithin nach einem bekannten Satze eigentlich
konvergent. Wir bezeichnen ihre Summe mit f.
Die ungeraden Teilsummen von (5) bilden eine monoton wachsende, die geraden eine monoton abnehmende Folge stetiger Funktionen.
Also ist nach Satz II die Summe f von (5) sowohl unterhalb als oberhalb stetig, d. h. stetig auf 9f (~ 8, Satz V).
Wir wollen nun noch zeigen, daß diese Funktion f der Ungleichung (2) genügt. Wir unterscheiden dabei die zwei Fälle:
1. g(a)=- h(a), 2. g(a)>h(a).
Im ersten Falle ist im Punkte a:
g,, g=-h<hv für alle,u,v;
infolgedessen:
(6) [h, -- g, ] =- g,,, [1g, - +1] =, ---
und aus (5) wird:
f= - )- - g) + (h2 - 1 (i - g o) - ({h - -3) - 9) '.
d. h.: f=- lim g- = lim h == g — = h,
und (2) ist erfüllt.
Im zweiten Falle.sind wegen hi-g < 0 und wegen (3) in der
Folge:
(7) l-, -- 1 2 -,..,, h,r -g, h7-g, +...,
alle Glieder von einem bestimmten an < 0, und wir haben wieder
zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem das erste negative Glied
in (7) die Form hat: h,-g,. (Fall 2 a) oder 7-g +1 (Fall 2b).
Im Falle 2a wird aus (5):
f= 9g -- (hi - gl ) - (hi - 92) + ' ' -. (h. - -- g v) g,
und somit, weil {g,,} monoton wächst:
(8) f gY,,g;
andrerseits, weil h, r —, das erste n e g a t iv e Glied der Folge (7) war,