Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. II, ~ 10. Stetige und halbstetige Funktionen 163
Wir definieren (für r O) eine Funktion h (r) der reellen Veränderlichen r durch (Fig. 5):
1 in 0r 1 a
h. (r) - linear in ]1 -
| 0 in [+ ) Fig. 5.
Jedem Punkte a von?f ordnen wir nun die (für alle a' von '
definierte) Funktion zu:
(4) f(a')- h, (r=(a, a')) f(a').
Die obere Schranke G(fV, a,) von f,a(a') auf W ist dann eine (für
alle a von 9 definierte) Funktion:
(5) f (a)= G (fva, ),
für die offenbar (2) erfüllt ist. Da ferner h +i (r)~h (r), ist auch
fvia (a') f, a (a') und damit auch:
f+l(a) f(a),
d. h. die Folge {f,} ist monoton abnehmend.
Wir zeigen sodann, daß f4 stetig ist auf f. Da h, stetige Funktion
von r, gibt es zu jedem e> 0 ein >0O, so daß
(6) h, (r)-h (r')l<e wenn r' — r <.
Ist a" ein beliebiger Punkt der Umgebung l (a; Q) von a in 9, so
ist, wegen der Dreiecksungleichung, für alle a' von X:
r (a, a') — r (a" a') |<;
und somit nach (6):
| h^ ( (a, a'))- h, (r (a", a')) < e.
Aus (4) und (1) folgt dann (für alle a" von l(a; ) und alle a'
von 2f):
fa" (a't)., - fa(a') | < e
und somit aus (5):
f (a")- f4 (a) e für alle a" aus U (a; ).
Das aber heißt: f4 ist stetig auf 2, wie behauptet.
Wir haben endlich noch nachzuweisen, daß (3) gilt. Da:
f,, a(a) = h (O) f (a) -f (a),
so ist nach (5):
(7) f (a) f (a) für alle v.
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