Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

162 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen.
und mithin auch:
(***) lim f, (a) lim f(a).
n=Xoo n-=oo
Wegen (*) und (**) ist ferner:
f (a) < lim f(a,) für fast alle r.
n=o n
Es wäre also wegen (***) für fast alle v
lim f,, (a,>) > (a),
l = 00
entgegen der Annahme, daß alle t;, oberhalb stetig in a auf s. Damit ist Satz I bewiesen.
Aus ihm folgt als Spezialfall:
Satz II. Die Grenzfunktion einer monoton abnehmenden
Folge auf?f stetiger Funktionen ist oberhalb stetig auf 2;
die Grenzfunktion einer monoton wachsenden Folge auf 1
stetiger Funktionen ist unterhalb stetig.auf 9f.
Von Satz II gilt nun auch die Umkehrung:
Satz III1). Jede auf 92 oberhalb stetige Funktion ist
Grenzfunktion einer monoton abnehmenden Folge auf 21
stetiger Funktionen; jede auf St unterhalb stetige Funktion
ist Grenzfunktion einer monoton wachsenden Folge auf 9t
stetiger Funktionen.
Es wird genügen, die erste Hälfte dieser Behauptung nachzuweisen, und zwar wird es weiter genügen, sie in der Form nachzuweisen2):
Ist f eine auf 9 oberhalb stetige, der Ungleichung:
(1) 0~f 1l
genügende Funktion, so gibt es eine monoton abnehmende Folge { }
auf 91 stetiger, der Ungleichung:
(2) 0< f_
genügender Funktionen, derart daß:
(3) f= im f.
y-= c
1) R. Baire, Bull. soc. math. 32 (1904), 125. Vgl. auch W. H. Young,
Proc. Cambr. Phil. Soc. 14 (1908), 523. Für beliebige metrische Räume wurde
der Satz zuerst bewiesen von H. Tietze, Journ. f. Math. 145 (1914), 9. Andre
Beweise: H. Hahn', Wien. Ber. 126 (1917), 91; C. Caratheodory, Vorl. über
reelle Funktionen 401. Der einfachste (erst während der Drucklegung erschienene) Beweis bei F. Hausdorff, Math. Zeitschr. 5 (1919), 293.
2) Vgl. den Beweis von Satz VIII, ~ 5.