Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

160 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen.
Eine auf einer separablin Menge 2 stetige Funktion ist, wie wir
in ~ 5 sahen, völlig gegeben durch ihre Werte auf einem in ( dichten
abzählbaren Teil 93 von 92, und zwar ist in jedem Punkte von 91 (~ 5,
Satz VI)
f(a-) -G(a; f, 3): g(a; f, S).
Um zu einem Resultate zu gelangen, das bei halbstetigen Funktionen einigen
Ersatz für diesen Sachverhalt bietet, gehen wir aus von folgender, auf einer
separablen Menge für ganz beliebige Funktionen gültigen Tatsache:
Satz IX. Zu jeder auf der separablen Menge 2 definierten
Funktion f gibt es einen in 21 dichten abzählbaren Teil e von 29,
so daß in jedem Punkte von 10:
f(l) g(a;f,) -=g(a;f,); G;f,)(a;f, (a; f, 3).
In der Tat, vermöge der Schränkungstransformation können wir f als
endlich annehmen. Sei rn, (n-=1,2,...) die Menge aller rationalen Zahlen,
1,, die Menge aller Punkte von i1, in denen
f> r,.
Zugleich mit Z1 ist auch 29, separabel (Kap. I, ~ 7, Satz II), es gibt also einen
in 9,, dichten, abzählbaren Teil 5,n von 2,,. Wir setzen
Dann ist auch 13' abzählbar, und da offenbar:
% = %,- -1w2 +-. - f Enw + **
so ist nach Kap. 1, ~ 4, Satz 1X 23' dicht in 92.
Sei nun a ein Punkt von 29~ und r,, eine rationale Zahl:
(2) r,, < G (a; f, 9Q).
In jeder Umgebung von a gibt es dann einen Punkt von 9~i, und da eS3 dicht
in 2n, auch einen Punkt von 5&, woraus sofort folgt:
(a; fS')>r,.
Und da dies für jede (2) erfüllende rationale Zahl r, gilt, ist auch
(3) G (a; f, B'):> G (a; f, 2).
Da aber <c, so ist andererseits
(4) G(a; f, 3')< G (a; f, ).
Aus (3) und (4) aber folgt:
(5) G (a; f, ') G(a;f, ).
Ganz analog beweist man die Existenz eines abzählbaren, in t dichten Teiles
3" von 21, für den in jedem Punkte von 210:
(6) g (a; f, ") g - (a; f ).
Wir setzen nun:
S3 = 3' = -- 23".
Dann ist 2S ein abzählbarer in 21 dichter Teil von 21, und aus:.3'<23, 23"<33,.<
folgt:
(7) g (a; f, 2) g (a; f, 23) g (a; f, ");
(8) G (a; f, B') G (a; f, ) G (a; f, ).
Aus (5), (6), (7), (8) folgt aber (1), und Satz IX ist bewiesen.