Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. II, ~ 8. Halbstetigkeit in einem Punkte. 155
Satz IX. Seien fi, 2,.'fk, endlich viele Funktionen,
die auf 9f definiert und in a oberhalb') stetig auf 9I sind.
Ist f der größte (oder kleinste) unter den k Funktionswerten fif2*,..,fk, so ist auch f oberhalb') stetig in a
auf 1[.
Es genügt, den Beweis für k 2 zu führen, da er dann für
beliebiges k durch vollständige Induktion folgt.
Sei zunächst f der größere der beiden Funktionswerte f;, /2,
und sei etwa:
fi (a) ~ f2 (a) und somit f(a) = fi (a).
Nach Voraussetzung ist für jede Folge {a,} aus 9f mit lim a a:
n-"
lim f, (a,) < f: (a); lim f2 (a,.) f (a).
n =~ Qo n- = oo
Für jedes p:
p > f (a) [=f- (a) f> (a)]
ist also:
f (an)<p, f (a) <p für fast alle n,
mithin auch:
f(a) <p für fast alle n,
d. h es ist:
lim f (aj) p,
0 = 00
und da dies für jedes p> f(a) zutrifft:
lim f (as,) ~< f (a).
n = oo
Also ist f oberhalb stetig in a auf?I, wie behauptet.
Sei sodann f der kleinere der beiden Funktionswerte fi, fi,
und sei etwa:
t, (a) < f (a) und somit f(a) f, (a).
Nach Voraussetzung ist für jede Folge {a"} aus % mit lima,- a:
n = oo
lim fi (an) fl (a),
H = 00
mithin, da fi ff, auch:
lm f(a^) fi (a) f(a),
n == o
d. h. es ist wieder f oberhalb stetig in a auf A. Damit ist Satz IX
bewiesen,
) Der Satz gilt auch für unterhalb stetige Funktionen. Er ist ein allgemeiner Grenzsatz.