Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

152 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen.
Wert t aus [0,1] übereinstimmt mit der vorgegebenen k-gliedrigen Folge (x 2, x x...j X), in der:.
O<x<l (i=l, 2..., k).
Darüber hinaus gilt noch'):
Satz IV. Es gibt in [0,1] stetige, den Ungleichungen:
Oxi(t)~l (i=, 2,.)
genügende Funktionen der reellen Veränderlichen t, so daß die
unendliche Folge {x, (t)} für mindestens einen Wert t aus [0, 11
übereinstimmt mit der vorgegebenen unendlichen Folge {x}i, in der:
o 0xA1 (i=1, 2,..).
In der Tat, man hat nur (**) zu ersetzen durch:
e2i- 1 (2, -1)
~i 2j --- - - (i- l, 2,...).
_ 1
~ 8. Halbstetigkeit in einem Punkte.
Die auf [( definierte Funktion f heißt oberhalb stetig2) auf
i im Punkte a von [,; wenn für jede Punktfolge {an} aus [ -mit
lim a ==a:
(~) Iim / (a") _ f (a)
n= oo
ist; sie heißt unterhalb stetig in a auf f, wenn für jede solche
Punktfolge:
lim f'(an,) > f(a)
n = oo
Ist f' in a oberhalb (unterhalb) stetig auf 9X, und ist 3 ein a enthaltender Teil von lt, so ist f in a auch oberhalb (unterhalb)
stetig auf S.
Satz I3). Damit f oberhalb stetig sei in a auf?/, ist notwendig und hinreichend, daß:
(*G) (a; f, )== f(a);
damit f unterhalb stetig sei in a auf X, ist notwendig und
hinreichend, daß:
g (a; f, A)=f (a).
Es wird genügen, die erste Hälte der Behauptung zu beweisen.
1) H. Lebesgue, Journ. de math. (6) 1 (1905), 210.
2) Dieser Begriff wurde eingeführt von R. Baire, auf den auch die
folgenden Sätze im wesentlichen zurückgehen: Ann. di mat. (3) 3 (1899), 6.
Le9ons sur les fonctions discontinues (1905) 71, 84. Vgl. auch W. H. Young,
Romn 4. Math. Kongr. (1908) Bd. 2, 49.
3) Satz I ist ein allgemeiner Grenzsatz.