Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

150 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen.
Denn es gilt der Satz'): Bei jeder stetigen Abbildung einer Strecko
auf ein Quadrat gibt es eine im Quadrat dichte Menge von Punkten,
die mindestens drei verschiedene Urbilder auf der Strecke besitzen. Die Menge aller Punkte des Quadrates, die mindestens zwei verschiedene Urbilder auf der Strecke besitzen, hat stets die Mächtigkeit c2).
Wir denken uns durch das oben dargelegte Verfahren die Strecke 0 < t 1
des ~, auf das Quadrat 0~<x<l, 0<y~l des 91, abgebildet. Sind x(t),
y (t) die Koordinaten des dem Punkte t entsprechenden Quadratpunktes, so
sind x (t), y (t) auf [0, 1] stetige Funktionen; es ist also:
(0) x =x{t), y- y (t), O t~l
ein sogenannter ~stetiger Kurvenbogen" (vgl. S. 518), der die Eigenschaft hat,
durch alle Punkte des Quadrates hindurchzugehen. Er wird bezeichnet als
Peanosche Kurve. Ihr Verlauf selbst entzieht sich der Anschauung, man
kann ihm aber anschaulich dadurch näher kommen, daß man die Näherungspolygone betrachtet, die entstehen, indem man immer bei der n-ten Teilung
des Quadrates der Reihe nach die Mittelpunkte der mit 1, 2,..., g2n numerierten Teilquadrate durch Strecken verbindet.
Von den vielen merkwürdigen Eigenschaften der beiden Funktionen (0)
sei hier nur erwähnt, daß sie jeden Wert zwischen 0 und 1 in einer
abgeschlossenen Punktmenge der Mächtigkeit c annehmen3). Durch
die inverse Schränkungstransformation erhält man aus ihnen stetige Funktionen
einer reellen Veränderlichen, die jeden Wert ~ 0 in einer Punktmenge der
Mächtigkeit c annehmen.
Wir wollen noch kurz ein zweites Beispiel einer stetigen Abbildung einer
Strecke auf ein Quadrat besprechen4). Wir gehen aus von einer stetigen Abbildung einer nirgends dichten, perfekten Punktmenge der Strecke aufs Quadrat, die dann leicht zu einer stetigen Abbildung der ganzen Strecke ergänzt
werden kann.
Sei [a, b] die abzubildende Strecke des 91, und sei S] eine a und b enthaltende, nirgends dichte, perfekte Menge aus [a, b] (Kap. I, ~ 9, S. 110). Die
Menge R)1 der punktfreien Intervalle von 54 in [a, b] hat in ihrer natürlichen
Reihenfolge den Ordnungstypus V (Kap. I, ~ 9, Satz II). Dasselbe gilt von
der Menge qd aller ins Intervall (0, 1) fallenden endlichen Systembrüche einer
gegebenen Grundzahl g (Einleitung ~ 8, Satz II). Es gibt also eine ähnliche Abbildung A von 9S) auf q(.
Ausgehend von dieser Abbildung A definieren wir nun eine Abbildung B
von ^8 auf die unendlichen Systembrüche
(*) 0.e, e... e,.
der Grundzahl g durch die Vorschrift:
1) H. Hahn, a. a. 0. 42ff. Vorher (ohne Beweis) ausgesprochen von
H. Lebesgue, Math. Ann. 70 (1911), 168.
2) H. Hahn, a. a. 0. 48.
3) Ein allgemeines Verfahren zur Herstellung solcher Funktionen s. H.
Hahn, a. a. 0. 36ff.
4) H. Lebesgue, Le9ons sur l'int6gration 44. H. Hahn, Ann. di mat.
(3) 21, (1913), 51. - Ein anderes Verfahren findet man noch bei W. Sierpiniski, Bull. Crac. 1912, 462; Prace mat.-fiz. 23 (1912), 193. - Weitere Literatur: K. Knopp, Arch. d. Math. u. Phys. (3) 26 (1917), 110; A. Hess, Stetige
Abbildung einer Linie auf ein Quadrat, Zürich 1905.