Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. II, ~ 7. Abbildung einer Strecke auf ein Quadrat. 149
Nummer hat, wie die Strecke n;. Da in der Folge der Strecken {an} jede
folgende in der vorhergehenden liegt, so gilt (wegen Vorschrift 2) dasselbe für
die Folge der Quadrate { 4n}. Es gibt also einen und nur einen allen Zn gemeinsamen Punkt unsres Quadrates: er ist das Bild des Punktes a.
Ist sodann a ein Punkt der Strecke, der bei einer unsrer Teilungen, etwa
der v-ten, als Teilpunkt auftritt, so ist dies auch bei jeder folgenden Teilung der
Fall. Seien (fiir n ~ v) ' und ~' die beiden in a zusammenstoßenden Strecken
der n-ten Teilung, n und Ztn die mit den gleichen Nummern versehenen Quadrate der n-ten Teilung; wie vorhin sieht man, daß alle 0' (n n v) einerseits,
alle D (n ~ v) andrerseits einen und nur einen Punkt gemein haben. Wegen
unsrer Vorschrift 1. aber ist dies derselbe Punkt: er ist das Bild des
Punktes a.
Es ist also. wirklich jedem Punkte der Strecke ein Punkt des Quadrates
zugeordnet. Und man erkennt unschwer, daß auch umgekehrt jeder Punkt
des Quadrates mindestens ein Urbild auf der Strecke besitzt: In der Tat,
zu jedem Punkte b des Quadrates gibt es mindestens eine Folge ihn enthaltender Teilquadrate {'n)}, wo.n Teilquadrat der n-ten Teilung, und
Z + i< ~Zn. Ist (n die Strecke der n-ten Teilung, die gleiche Nummer wie
~n, hat, so ist auch +n +l <C n. Es gibt also einen und nur einen Punkt der
Strecke, der zu allen En gehört: er ist ein Urbild von b.
Es bleibt zu beweisen, daß unsre Abbildung der Strecke aufs Quadrat
stetig ist. Sei a ein Punkt der Strecke, {a,} eine Punktfolge der Strecke
mit lim ap=a; sei b das Bild von a, bp das von ap. Wir haben zu bep = oo
weisen, daß lim b =b ist.
p-= 00oo
Tritt a bei keiner unsrer Teilungen der Strecke als Teilpunkt auf, so
mögen Gn und Zit dieselbe Bedeutung haben, wie vorhin; fast alle ap liegen
dann in s,,, daher fast alle bp in in, und da b in allen. On liegt, und {Cln}
sich auf b zusammenzieht (Kap. I, ~ 3, S. 68), so haben wir lim bp -- b, wie
p=,oo
behauptet. - Ganz analog schließt man, wenn a ein Teilpunkt ist, nur hat man
dann an Stelle von Gn die Vereinigung der oben mit,in und Du bezeichneten
Strecken, an Stelle von lün die Vereinigung 0l' -r d' zu benutzen.
Damit ist gezeigt, daß unsre Abbildung der Strecke aufs Quadrat stetig
ist. Nach Satz II kann sie daher nicht eineindeutig sein. Es hat keine
Schwierigkeit, tatsächlich Punkte des Quadrates anzugeben, die mindestens
zwei verschiedene Urbilder auf der Strecke besitzen; dies trifft offenbar für
jeden Punkt des Quadrates zu, in dem zwei Teilquadrate zusammenstoßen,
die nicht aufeinanderfolgende Nummern haben. Punkte, in denen drei (oder
vier) Teilquadrate zusammenstoßen, von denen keine zwei aufeinanderfolgende
Nummern haben'), werden sogar drei (bzw. vier) verschiedene Urbilder auf
der Strecke besitzen.
Es ist nicht schwer, unser Abbildungsverfahren so abzuändern, daß
kein Punkt des Quadrates mehr als drei verschiedene Urbilder
auf der Strecke besitzt2). Das aber ist alles, was sich erreichen läßt.
1) Z. B. in Fig. 3 der gemeinsame Eckpunkt der Quadrate 7, 10, 55, 58;
in Fig. 4 der gemeinsame Eckpunkt der Quadrate 12, 25, 30, 43.
2) H. Hahn, Ann. di mat. (3) 21 (1913), 50. Ein andres Verfahren bei
G. P6lya, Bull. Crac. 1913, 312.