Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. II, ~ 7. Abbildung einer Strecke auf ein Quadrat. 147
Diese Abbildung kann nicht stetig sein. Es gilt nämlich:
Satz II1). Enthält die Punktmenge 58 des 9k (k>2) einen inneren Punkt, so gibt es keine eineindeutige und stetige Abbildung des Intervalles (**) auf 83.
Angenommen in der Tat, es gäbe eine eineindeutige, stetige Abbildung A
des Intervalles (**) auf 8, und b wäre innerer Punkt von 23. Dann gibt es
im lNk zwei ganz zu BS gehörige, nicht in dieselbe Gerade des 9k fallende
Strecken a1 a2 und b1 b2, die sich in b schneiden. Nach ~ 6, Satz IX ist A-'
stetig. Nach ~ 6, Satz II und IV ist daher das Urbild von ab sowie von ba,
je eine abgeschlossene, zusammenhängende Punktmenge des 91, d. h. je ein
Teilintervall von (**). Da A-1 eindeutig ist, haben diese beiden Teilintervalle
nur den einen Punkt:
a =A-1(b)
gemein; sie sind also zwei in diesem Punkte a aneinanderstoßende Teilintervalle von (**). Dassclbe muß aber von den JJrbildern der Strecken bb b und b b2
vermöge A-1 gelten; das aber ist unmöglich, da wegen der Eindeutigkeit von
A4- die Urbilder der Strecken a1 b, b a2, bl b, b b2 zu je zweien keinen andern
Punkt als a gemein haben dürfen. Damit ist Satz II bewiesen.
Wenn es demzufolge keine eineindeutige stetige Abbildung einer Strecke
(eines Intervalles des SJ1) auf ein Quadrat des 912 gibt, so gibt es doch, wenn
man auf die Eineindeutigkeit verzichtet, sehr wohl stetige Abbildungen, die
dies leisten2). Wir besprechen zunächst die bekannteste Abbildung dieser Art3).
Man teile die Strecke in g2 gleiche Teile (g eine natürliche Zahl > 2) und
das Quadrat in g2 kongruente Teilquadrate, indem man jede seiner Seiten in g
gleiche Teile teilt und durch die Teilpunkte Parallele zu den Quadratseiten
zieht. Sodann numeriere man die Teile der Strecke in ihrer natürlichen
Reihenfolge mit 1, 2,..., g2; ebenso die Teile des Quadrates, und zwar diese
so, daß je zwei, die benachbarte Nummern erhalten, mindestens einen Punkt
gemein haben.
Nun teile man weiter jede der beim ersten Schritt erhaltenen g2 Teilstrecken neuerdings in g2 gleiche Teile und numeriere die so entstehenden
94 Teilstrecken in ihrer natürlichen Reihenfolge mit 1, 2,..., g4. Ebenso teile
man jedes der beim ersten Schritte erhaltenen Teilquadrate weiter in g" kongruente Teilquadrate und numeriere die so entstehenden g4 Teilquadrate mit
I, 2,..., 94, und zwar so, daß:
1. je zwei Teilquadrate, die benachbarte Nummern erhalten, mindestens
einen Punkt gemein haben,
2. die aus dem Quadrate 1 der ersten Teilung entstehenden Teilquadrate
1) Dieser Satz ist ein Spezialfall des Satzes von der Invarianz der Dimensionszahl gegenüber eineindeutigen stetigen Abbildungen. Vgl. L. E. J.
Brouwer, Math. Ann. 70 (1911), 161.
2) Notwendige und hinre'chende Bedingungen dafür, daß eine gegebene
Punktmenge stetiges Bild einer SLrecke sei, findet man bei I. Hahn, Wien.
Ber. 123 (1914), 2433.
3) Sie rührt her von G. Peano, Math. Ann. 36 (1890), 157. - Vgl. auch
E. Cesaro, Bull. sei. math. (2) 21 (1897), 257; D. Hilbert, Math. Ann. 38
(1891), 459; A. Schoenflies, Gött. Nachr. 1896, 255; E. H. Moore, Am
Trans. 1 (1900), 72.
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